Identité et prolongements

1) zéro d'un analytics de fonction :

Le point z₀ concernant le dominion de G indique zéro de f(z de f(z)se₀) = 0. Du développement du f(z) en série de puissances dedans autour du f(z) =du S c _n (z-z₀) ⁿdu pointz₀ , suit que le coefficient c₀ est égal à zéro. Si également les coefficients jusque 2'au k-1 sont égaux à zéro et le coefficient c_k est divers de zéro dirigent alors z₀ dit zéro d'ordre k du f(z) de fonction.

 

2) identité de la série de puissances :

Des tels sont donnés à 2 séries de potenze e dans le convergent le même cercle avec le centrez ₀, ces leurs sommes coïncident dedans avec du ¹ z du but z d'infinitesayant ₀ z₀ comme le point d'accumulation. Alors à_n = b_n .

 

3) c'est analytics de f(z) dans un dominion de G et est-ce que cela des annulations dans d'autres dirige z_n ? G puis si la succession {z_n} converge à la limite concernante au même dominion, puis au f(z) de fonction est identiquement égal à zéro dans le dominion de G :

Un avant démontre ce f(z) = le 0 à l'intérieur du cercle |z-a| < R₀ tirant profit à plusieurs reprises du fait que f_n(a) = 0, le résultat est que tout le c_n sont nul et après que tous donc la fonction est nul. Afin de démontrer ce f(z) = 0 dans tout le dominion assez à la place à démontrer qui vaut la peine 0 dans z₁ au lequel obtient la combinaison avec une courbe et un z₁ , prenant au point d'intersection entre le bord du cercle du faisceau ₀R et la courbe, un nouveau faisceau de convergence dans lequel le f(z) = le 0 est trouvé, iterando c'est z atteint₁ .

 

4) un ¹ 0 , analytics de f(z) de fonction dans un dominion de G , n'a pas qu'un nombre fini de zéros dans chaque sottodominio a clôturé limité du dominion de G :

Si le nombre de zéros étaient infini, à partir de lui on pourrait extraire un subsuccession convergent à un point à dedans que la fonction vaut la peine 0, qu'elle nie les hypothèses.

 

5) théorème d'unité :

Si le f(z) de deux fonctions et le j(z) sont analytics dans un dominion de G dans lequel une succession des points {z _n}dans lequel existe les valeurs du f(z) de fonctions et du j(z) coïncide, puis f(z) = j(z) dans G.

Il est suffisant pour établir que la fonction y(z) = f(z) - j(z) = 0 dans G.

 

6) point régulier :

On dit qu'un pointz ₀ concernant un dominion limité règle pour le f(z) de fonction si série convergente de puissances S c _n(le z-z₀ existeun)ⁿ ces, dans l'intersection du dominion de G avec son cercle de convergence |z-z₀| < r(z₀), convergent au f(z) de fonction.

 

7) sur la frontière du cercle de la convergence d'une série de puissances par point singulier de la fonction se trouve au moins l'analytics de F(z), auquel la série indiquée converge :

Pour l'absurdité on l'a que tous les points du bord du cercle de la convergence de la série sont réguliers qu'est ce dans l'intersection entre le cercle de convergence qui correspond au seul point et le cercle de la convergence de la série qu'elle les commence a la convergence au f(z), sont eus qui la différence entre les faisceaux des cercles relatifs de la convergence vous à 2 points de z₁ et z₂ qui trouvent sur le bord du cercle il est plus petite de la distance entre les deux têtes qu'elle est équivalente pour indiquer que r(z) est une fonction continu uniforme encore moins limité inferiorly (r(z) > 0) et donc il assume son minimum absolu sur C₀ après que tout obtienne que le faisceau de convergence doit être R₀ r₀ > R₀ et donc le contraddice l'hypothèse les commence.

 

8) total d'analytics de fonction :

L'ébauche de la fonction de F(z), obtenue pour la prolongation analytique le long de toutes les chaînes possibles des dominions qu'ils sortent de la définition le dominion de G les commence du f(z) d'analytics de fonction.

 

9) disque d'analiticità centré de massimale dans z₀ :

Ébauche d'un dominion qui correctement n'est pas contenu dans un certain disque du centre z₀ dans lequel f est olomorfa.