Théorèmes sur la série de Fourier

1)    théorème d'Euler sur la détermination des coefficients de la série de Fourier :

Les coefficients de la série de Fourier sont déterminent à vous de l'intégrale 2 suivante ceux :

Du polynôme de l'oltiplicando de Fourierm pour le cosmx (m = 0.1....,n) et intégrer entre -p et p est eu. Se multiplier analogue pour le senmx (m = 0.1....,n) et intégration entre -p et p il est eu . Après avoir tiré profit de suivre remarquable d'intégrale :

;

;

 

2) identité de Pitagora Parseval :

Si le f(x) de fonction satisfait la condition de Dirichlet et_{à n} et à b_n ils sont les coefficients de la série de ž de Fourier

On le démontre prenant trigonometrical polynôme, se multipliant il pour le f(x) et intégrant entre -p et p il est obtenu : après avoir tiré profit des intégrales , e .

 

3) théorème sur la convergence quadratique à la moyenne :

À changer de s_n entre tout le polinomi trigonometrical du degré n, l'écart type elle s'avère minimal si s_n = s_n où s_n il est le n-esima partiel de somme de la série de Fourier associée à f.

L'ajuster est remplacement obtenu de e

pour 1° la limite que l'identité de Parseval peut être tirée profit tandis que pour 2° la limite le polynôme est prise trigonometrical, il est multipliée pour 2f(x) et intégrale entre -p et p. s'en avère la thèse.

 

4) inégalité de Bessel :

Il est gagné de la convergence quadratique à moyen observant cela dans combien l'integranda de fonction coûte positif, donc le résultat trouvé du fait le cas est valide comme inégalité.

 

 

5) théorème sur la convergence ponctuelle :

Si f il est une fonction continue parfois et périodique avec la période 2p

le ž la série de Fourier du f converge dans chaque point X dans lequel la condition de Dirichlet est satisfaite et sa somme dans un tel point vaut la peine tandis que si x sont un point de continuité pour f puis la série converge avec le f(x) de somme. Étant f(x^-) = la valeur de la limite gauche et f(x ) = la valeur de la limite habile.

 

6) théorème sur la convergence uniforme :

Si f il est une fonction continue et avec le dérivé continu à moins qu'au plus un n° ait fini que les points dans lesquels il est cependant respecté le n° de condition les 2 de séries de ž de Dirichlet de Fourier du f convergent absolument et l'uniforme dans ".