Théorèmes sur les ensembles
1) s'il existe un maximum pour avec ceci est seulement.
On le raisonne pour l'absurdité, c'est une suppose que m1 et m2 est 2 maximum, se rappelant qu'un maximum n'est pas autre dont une pièce de fabrication de maggiorante avec d'accru lui, en réalise que 1 estm que m2 doit appartenir à ensemble et donc être le maximum m 2 de m1 précède ou est égal à m1, être analogue le m de maximum de m 21 précède ou il est égal à m2, en réalise que les 2 peuvent seulement coexister si m1 = m2.
2) une intégralité totalement commandée est X et est au X, avec au fini et non vide à lui admet le maximum et le minimum.
On le démontre pour le semiinduction :
* si j'ai un élément simple alors qu'il est maximum et minimum.
* si j'ai 2 éléments alors que je fais la comparaison et je trouve le maximum et la minute.
* si j'ai des éléments de n alors que je fais n-1 elle confronte et elle détermine le maximum et la minute.
C'est vrai choisissent si à lui est fini (qu'est constitué à partir d'un n° des éléments n, avec n ? ?), et la commande est totale.
3) propriété de densité sur Q :
Description : " x, y avec x < infinites de y $ de tels éléments z ces x < z < y
On prend la moyenne entre x et y et un point z 1 est trouvé après quoi il des prises la moyenne entre x et z1 et eux trouvent z2 et donc par l'intermédiaire de.
4) propriété d'Archimède sur Q :
Description : " x, y > 0 $ de n ? ? tels que ³ y de nx
X = est p/q placés ED y = r/s à ce assez point à choisir n = qr afin de faire ce nx = ³ r/s de P.R..
5) propriété de perfection de " :
Description : est au " , au ¹ 0. Si à lui est limité advancedly(admet-il au moins un maggiorante) $ Sup à puis? " (qu'est à dire les plus petits $ du maggioranti). Analogue si à lui est limité inferiorly(un minorante) $ FNI (qu'est à dire le plus grand admet alors au moins du minoranti).
6) propriété de densité sur " :
Description : " x, y avec x < nombres d'infinites de y $ les rationne z tels que des éléments d'irrazionali de x < de z < de y et d'infinites avec la même propriété.
La propriété d'Archimède concourt nous pour dire qu'un n existeou ? ? tels que les points entre i de distance X et y est > 2*10 - n0
donc un alignement existera décime les a comportés entre x et y - 10 - n0 . Il sera assez pour ajouter des figures à dernier de cet alignement afin de trouver d'autres nombres comportés entre x et y, les figures supplémentaires peuvent créer est des limites d'alignements à vous ou la vie donnante périodique donc aux nombres il les rationne, que des alignements qu'il ne limite pas et la vie donnante non périodique aux nombres d'irrazionali, tous à vous a rigoureusement comporté entre x et y.
7) inégalité de Bernoulli :
Description : " h ? " , avec h > -1 le ³ 1 est cheeu( 1 h) n NH
On le démontre pour l'induction.
Pour on obtient n = 0 1 ³ 1 qui vérification l'inégalité.
On le suppose que vrai pour n et lui est démontré pour n 1 décompose en particulier la puissance dedans (1 h)n 1 le ³ 1 (n 1)h et lui est obtenu au premier membre (1 h)n (1 h), à ce point peut être écrit à 2° le membre par l'inégalité démontrée à l'étape n et compensation de la limite (1 h) la multipliant également à 2° le membre, est quindi obtenu
(1 h)³ 1 ( ³ 1 (n 1)hde n 1 de n 1)h NH 2
là où la limite les centre est obtenu à partir du produit (1 nh)(1 h). Par conséquent l'inégalité est vérifiée également pour assurer n 1.
8) combien de permutations sont possibles avec des objets de n ?
Description : Pn = n !
On le démontre considérant qu'afin de commander 1 objet dans 1ª le cas là sont de diverses manières de n, donc afin de commander 1 objet dans 2ª le cas sont les diverses manières n-1. Au k-esima le cas nous avons placé les objets n-1, si k = n puis PN = n !
9) combien de permutations sont possibles avec des objets de n de quelle égalede k 1 entre elles et d'égalede k 2 ceux entre divers elles mais de kle 1 ?
Évidemment si quelques éléments égaux sont qu'il rend quelques permutations identiques et donc de lui il réduit tout le nombre qui est estrinsecato de n ! . Dans le fattispecie la restriction se produit le dividende n ! pour le nombre de combinaisons a infirmé l'égale (n_elementi_uguali) !
10) elles sont à et B 2 place comptable. Alors AxB est numerabile(can soit placé dans le biunivoca de correspondance avec ?).
On le démontre plaçant les éléments des 2 ensembles dans une matrice et employant le procédé diagonal du chantre pour son scansion, d'une telle manière que chaque élément vient attrapé vers le haut un seul temps et donc est eu un biunivoca de correspondance entre ensemble et ?.
11) l'intégralité " n'est pas comptable.
On le démontre pour l'absurdité affirmant que le 0.1) equipollente d'intervalle (à est comptable " et démontrant qu'on peut créer un n° au lequel n'appartient pas avec donc construit obtenu changeant le nombre d'i-esima d'i-esimo le nombre, donc pas le biunivoca de correspondance est-il entre ensemble un et ? dans combien la fonction ne coûte pas suriettiva.
12) démontrent que si f sont en croissant dedans à et g qu'il est en croissant dans le g°f de de f(A) est en croissant dedans à.
On le démontre en observant que si f est en croissant dedans au si le ³X2 de x1 suivent ce f(xde ³ du f(x 1)2), d'ailleurs si g il est en croissant dans le ³ du de f(A) g(f(x1) ) g(f(x2)) et donc le g°f il est en croissant.
13) démontrent que la composition d'une fonction pour son inverse est l'application identique.
Il est immédiat.
14) inégalité de Cauchy - Schwarz :
Description : " x, y ? " a le che 2|xy| £ X2 y2
Les produits remarquables sont employés, sont eus :
( Xde ³ 0 de x y) 22 X de ³ 2xy 0 de y 22 ³-2xy de y 2
(x - y)2 X 2 y2 du ³0 - 2xy X de ³ 02 ³2xy de y 2
et se rappelant cela |xy| = xy si > 0 e xy |xy| = - xy si < 0 xy l'inégalité est démontré.
15) inégalité des jeunes :
Description : " x, y, et ? " a le che 2|xy| £ etx2 y2/et
l'ED est placé x = u/a remplacement de y = de poids du commerce est obtenu 1° au membre 2|UV| à ce que l'inégalité de Cauchy-Schwarz peut être appliquée et donc les 2|UV| £ u2 v2 remplaçant pour obtenir un disequazione dans x et y il soit obtenu :
2|UV| £ à 2xà 2 y2/a2 dans lesquels il peut être remplacé =
.
16) changer de l'inégalité triangulaire :
Description : | ||X|| - ||y|| | £ || X - y ||
La partie est indiquée ||X|| à son intérieur on se joint et il détourne le dopodichè de y applique l'inégalité triangulaire ||X y|| £ ||X|| ||y|| et ottiene ||X|| - ||y|| £ || X - y || tout en partant ils donnent ||y|| il est atteint ||y|| - ||X|| £ || X - y || = || y - x || et finalement tirant profit des caractéristiques du module, il est atteint pour démontrer le charger.
17) x sont d'accumulation pour et > chaque autour de x il contient des têtes d'infinites de et.
Toutes les affirmations avec > sont démontrées démontrant le e de 2 dos séparément ? .
? est banal définit en fait le point d'accumulation X avoir dans chaque son autour un ¹ et un point X de point
le si x sont d'accumulation pour et alors dans chaque son est autour au moins un point de et, un point est trouvé et à l'intérieur de au 1° d'autour et est assumé cela ||xx1|| c'est le faisceau du neuf autour, à son intérieur un nouvel élément se trouvera de et que différent du 1° on trouve le dans combien coûte autour une structure qui exclut les points qu'ils sont sur le bord.
Après que tout donc la définition du point d'accumulation indique à nous que dans chaque son autour il y a au moins un point et divers de x, cette énonciation précise de théorème qu'en ce n de vérité 'il n'est pas un simple mais infinites se dirige.
18) si F est une famille des ensembles ouverts d'"n alors ?F avec est ouvert d'"n .
Si x appartiennent à l'union d'intégralité de la famille du X d'ensembles doit-il appartenir à un de ces ensembles qu'ils constituent la famille, comme exemple à avec à ce qui est un ouvert au lequel il veut dire que chaque son point est intérieur piqué et donc aussi x, doit donc exister un autour de x complètement contenu dedans et donc complètement contenu dedans ?F. Par conséquent x intérieurs piqués sont-ils à ?F et pour l'caractère arbitraire avec lequel nous avons choisi x suit que tous des points de I de ?F est intérieur piqué et donc l'intégralité ?F est ouvert.
19) si F est une famille finie des ensembles ouverts ? "n alors ?F avec est ouvert d'"n .
Est-ce que être considéré le cas de 2 ensembles ouverts à et de B, les prises une peut-il dirige x qui appartient est à à celui à B et on le démontre qu'il entier est contenu dedans à ?B, est qui est point intérieur et donc l'intégralité ?F est un ouvert. De sorte que x soient contenus dedans à?B est nécessaire pour choisir autour du faisceau minimal entre le faisceau approuvent x d'être intérieurs piqués dont à et du faisceau qui concourt à x d'être intérieur piqué de B.
20) si et c'est un fermé d'intégralité et il contient sa frontière et de ¶ et.
Si x n'appartiennent pas à et alors unavoidablly il appartient au C complémentaireet qui avec lui est ouvert (étant et fermé) et donc de seuls points intérieurs constitués il en réalise que x sont intérieur à Cet et donc n'appartient pas au ¶et, dans la conclusion etle de ¶ et.
21) si et il contient son de ¶et de E de frontière et contient toutes ses têtes d'accumulation.
Se rappelant qu'un point d'accumulation pour et est ou un point de frontière ou un point intérieur et observer cela et contient également sa frontière de lui réalise cela et contient toutes ses têtes d'accumulation.
22) si et il contient tout son il se dirige du d'accumulazione et est fermé.
Il est nécessaire de démontrer que le C complémentaireet avec est ouvert qui est qu'il contient les têtes soloes intérieures qui est évident parce que si x n'appartiennent pas à et puis n'appartiennent pas non même à la frontière de et (puisque dire cela et lui contient ses points d'accumulation est équivalent pour dire que ¶et et) alors x ne doivent pas être point intérieur au C complémentaireet que donc il est avec ouvert.
23) théorème de Bolzano - Weierstrass :
Description : Est et le "n limité (le pu² est enfermé dedans autour d'origine) et infiniment (constitué à partir de n° a infiniment des éléments) Esiste dans "n au moins un point d'accumulation pour et.
) un candidat à être piqué de l'accumulation se trouve :
Étant et limité alors un rectangle T 0 en positionà l'enfermer existe, puisqu'et il est infini, ce rectangle contient des têtes d'infinites de et, les 2 étapes suivantes sont alors exécuté ricorsivamente :
1) subdivise le rectangle dans le parti 4.
2) choisit entre les 4 rectangles créés un rectangle contient toujours des têtes d'infinites dont et.
3) joint à la succession de S des bords gauches des rectangles un élément qui est ³ de le précédent.
4) joint à la succession de D des juste de bords des rectangles un élément qui est £ de le précédent.
5) joint à la succession de B des bas bords des rectangles un élément qui est ³ de le précédent.
6) joint à la succession à des bords élevés des rectangles un élément qui est £ de le précédent.
De l'observation que les ensembles les ont donc construits sont des limites à vous et donc ils d'ailleurs admettent au moins un maggiorante et un minorante trouvant à nous sur ", parce que la propriété de perfection le minimum du maggioranti existe qui est le Sup et le maximum du minoranti qui est les FNI gagne l'état de l'évasion du ricorsione qui est doit être che obtenu Sup(S) = Inf(D) et que les valeurs de Sup(B) = d'Inf(A) qui viennent ont rattrapé dans la distance entre le sup et les FNI il est donné de la distance entre les bords qu'il les commence uniformes pour le n° n arbitraire des subdivisions exécutées. Le point qui possède ces coordonnées s'avère donc le candidat à être un point d'accumulation.
b) on le démontre que le point trouvé est d'accumulation
Il doit démontrer qu'un tel point est de
l'accumulation qui est celle dans chaque son autour du faisceau et existe des têtes d'infinites
de l'intégralité, afin de faire cet assez pour enfermer le
rettangolino dedans autour du faisceau centré et
en point X, ceci est obtenu
qui centre dans le candidat de point la place [ sup(S) - 
, ]x[sup(B) de sup(S) - , sup(B) ].
Enregistrant tels carrés en cercle, on l'aura que le
cercle a le faisceau et, est centré dans x et contient des têtes d'infinites de avec
pour le pacte poussant le processus de la subdivision jusqu'au point
dans du lequel la distance entre 2 bords du rettangolino est plus
petite .
24) si et le "n il est un fermé et limité d'intégralité existe Max(E) et Min(E)
Limité, pour la propriété de perfection, il implique l'existence du Sup et des FNI qui sont des points de frontière et puisqu'une intégralité fermée contient également sa frontière d'elle il réalise cela et il contient les FNI et le Sup qui sont donc des minutes et maximum respectifs.