Définitions

Éléments de base

1) ensemble :

Collection (classe, famille) de lesdits éléments d'objets d'ensemble.

 

2) Sottoset :

À lui est le sottoset de B si B contient tous les éléments de à mais il ne contient pas tous les éléments de B.

 

3) Sottoset approprié :

Un sottoset il est juste si c'est un sottoset non vide.

 

4) ordinata de croisillon :

Ébauche d'un croisillon constitué à partir d'un élément de avec c$r-at et à partir d'un élément de l'intégralité de B dans l'ordre.

 

5) intégralité produite cartésienne à x B :

L'intégralité sont-elles formées de tous les croisillons rangés contre à?Un e b?B.

 

6) rapport :

C'est (une affirmation qu'elle peut être vraie ou fausse) r(x binaire prêché, y) avec x?X et y?Y

 

7) propriété de riflessività :

au £ à

 

8) propriété de symétrie :

" x, y ? Se X X ž y " x " de y

9) propriété d'asymétrie :

" x, y ? X £ X du £ y ^ y de Se X puis y = x

10) propriété de transitività :

" x, y, z ? X £ z de l'allora X du £ z du £ y ^ y de Se X

11) total de commande :

Le total est eu un ordre si pris cependant à 2 éléments X et y ils sont le £ X de l'oppure y du £ y de l'ossia X de confrontabili.

 

12) Maggiorante :

Un élément k ? Maggiorante X de à si est dit

a) " à?À lui est eu que k il est confrontabile avec à

b) " à?À lui est eu qu' au £ k

 

13) Minorante :

Un élément k ? Minorante X de à si est dit

a) " à?À lui est eu que k il est confrontabile avec à

b) " à?À lui est eu qu' au ³ k

 

14) maximum :

C'est un maggiorante au lequel appartient avec à

 

15) minimum :

C'est un minorante au lequel appartient avec à

 

16) ledit superiore extrême de Sup A :

Il est le plus petit du maggioranti de à.

 

17) ledit inferiore extrême de FNI A :

Il est le plus grand du minoranti de à.

Fonctions

18) fonction :

C'est un univoca de correspondance de X dans Y qui est des associés à chaque élément ? X un élément simple ? Y

 

19) succession :

Une fonction est-elle eue comme le dominion ?

 

20) iniettiva de fonction :

C'est une fonction pour laquelle à un élément simple de l'image un élément simple du dominion correspond.

 

21) suriettiva de fonction :

Est une fonction ayant comme l'image tout le codominio.

 

22) biiettiva de fonction :

C'est une fonction qui est est l'iniettiva qui suriettiva.

 

23) intégralité numerabile :

C'est une intégralité avec laquelle peut être mis dans le biunivoca de correspondance ?.

 

24) se lever de fonction :

Un rapport est avoir la fonction les augmente le ³ 0

 

25) fonction derising :

Un rapport est avoir la fonction les augmente le £ 0

 

26) pari de fonction :

C'est une fonction pour laquelle f(x) = f(-x)

 

27) dispari de fonction :

C'est une fonction pour laquelle f(-x) = - f(x)

 

28) g°f :

Il signifie pour s'appliquer la fonction g à la fonction f (x)

 

29) inégalité triangulaire :

|X₁ x₂| £ |X₁| |X₂|

 

30) inégalité des jeunes :

2|xy| £ et x² y²/ et

31) inégalité de Cauchy - Schwarz :

2|xy| £ X² y²

L'espace vectorial "ⁿ

32) grandeur scalaire de produit : " x, y ? "ⁿ ,

33) euclidea de norme : " x ? "ⁿ ,

34) Distance Euclidienne : " x, y ? "ⁿ ,

 

35) une fonction définie sur un vrai espace vectorial X vient norme définie si elle a plaisir à suivre la propriété 3 :

a) " x ? X, ||X|| ³ 0 e ||X|| = 0 > x = 0

b) " x?X, " y?" ||lX|| = |l|*||X||

c) " x, y ?X ||X y|| £ ||X|| ||y||

 

36) une fonction définie sur une avec X vient distance définie si elle a plaisir à suivre la propriété 3 :

) " x, y ? X, d(x, y) ³ 0 et d(x, y) = 0 > x = y

b) " x,y?X, d(x, y) = d(y, x)

c) " x, y, z ?D(x X, y) d(x de £, z) d(z, y)

37) distance discrète :

si ^~ du ž d de x =de y (x,y) = 0

si ^~ du ž d du ¹ yde x (x,y) = 1

38) d*(x, y) :

maximum{|X₁ - y₁| , |X₂ - y₂|}

39) d_*(x,y) :

|X₁ - y₁| |X₂ - y₂|

Topologie

40) autour :

Données X ? "ⁿ et et ?" , est dit autour de sphérique du centre X et le faisceau et l'intégralité B_et(x) : = { y? "ⁿ : d(x, y) < et}

41) sphère :

Données X ? "ⁿ et et ?" , dit la sphère du centre X et le faisceau et l'intégralité S_et(x) : = { y? "ⁿ : d(x, y) = et}

42) X sont-ils une intégralité, pour chaque x?X un est famille eue d'intorni avec la propriété suivante :

) à x ? Chaque U(x) pour x ? X.

b) Si U₁(x) et ₂U(x) sont l'intorni 2 du ž de x leur intersection contenez au moins un autour de x.

c) si y?Le ž d'U(x) existe autour un U(y) contenu de y dans U(x)

d) si le ž du ¹ y de x existe un disgiunti U(x) de x autour et d'un autour d'U(y) de y : U(x) ? U(y) = 0

 

43) R^{* :}

L'énonciation étendue de R est R^* : = " ? {-¥} ? { ¥}

44) R ^:

R indiquant le point est R^. : = " ? {¥}

45) point intérieur :

Un point X ? "ⁿ à l'intérieur est ensemble dit et si le son complètement contenu existe autour dedans et

46) décrivent l'ensemble

C'est l'intégralité constituée à partir des seuls points intérieurs de et.

 

47) point externe :

Un point X ? "ⁿ dehors est ensemble dit et s'il est intérieur à le complémentaire de et.

48) point de frontière :

Un point X ? "ⁿ un indique de la frontière s'il n'est pas intérieur d'externe à et.

49) décrivent l'ensemble le ¶et :

C'est l'intégralité constituée à partir des seuls points de frontière de et.

 

50) point d'accumulation :

Un point X ? "ⁿ un indique de l'accumulation pour et si chaque autour de x il contient un point et divers de x.

51) décrivent l'ensemble le E ':

C'est l'intégralité constituée à partir des seuls points d'accumulation de et.

 

52) point d'isolement :

Un point X ? "ⁿ ledit point d'isolement est-il de et si x?Et et lui n'est pas d'accumulation pour et.

53) avec ouvert :

Ensemble et le  "ⁿ elle est dite ouverte dans "ⁿ si chaque élément de et est intérieure piqué à et.

54) intégralité clôturée :

Ensemble et le  "ⁿ elle est ledit fermée dans "ⁿ si le complémentaire est avec ouvert.

55) avec limité :

Ensemble et le  "ⁿ un dit limité dans "ⁿ si un r existe tels qu'et est contenu dedans autour d'origine r de faisceau.

56) diamètre d'une intégralité de Diam(E) :

Le diamètre est défini de avec la fin avançée de avec des distances entre 2 points concernants X et y à et.

 

57) la Fermeture de et c'est :

C'est l'intégralité formée de l'union et avec de sa frontière.

 

58) avec le corps convexe :

Une intégralité indique et le  "ⁿ le segment de combinaison est ledit corps convexe si pour chaque croisillon (x,y) les 2 points est contenus dedans et.

Limites

59) fonction limitée :

Une fonction est ledit limitée dedans au  X si un tel existe un M cela ||f(x)|| £ M " x?À.

 

60) maximum total ou absolu :

M ? " ledit maximum total ou absolu de f dedans est-il si x existent₀ ? À tels que :

) f(x) chaque £ M pour x ? À

b) f(x₀) = M

 

61) minimum total ou absolu :

m ? " ledit minimum total ou absolu de f dedans est-il si x existent₀ ? À tels que :

) f(x) chaque ³ m pour x ? À

b) f(x₀) = m

 

62) point du minimum local et des lieux minimaux :

Un point X₀ indique du minimum local si un tel U(x ₀ existeautour) ce f(x ₀ de ³de f(x)) pour chaque x concernant autour.

Le point est du minimum local si f(x) > f(x ₀)pour fortement chaque x concernant autour l'exclusion de x₀ .

 

63) point de maximum local et de lieux maximum :

Un point X₀ indique du maximum local si un tel U(x ₀ existeautour) ce f(x ₀ de £de f(x)) pour chaque x concernant autour.

Le point est de maximum local si f(x) < f(x ₀)pour fortement chaque x concernant autour l'exclusion de x₀ .

 

64) limite :

Si x₀ ? "^* c'est un point d'accumulation pour le ž l de X ? "^* ladite limite de f(x) est-elle pour x ® X₀ si pour chaque autour V de l un U de x _{0 que} telsexiste autour de celui pour chaque élément X concernant ceci autour l'exclusion de x₀ est eu qui f(x) ? V.

Si puis x₀? " et l?" l'équivalent de bidon soit écrit : "et> 0, $d> 0 tels que " x?X, 0 < |xx₀| < d il est eu cela |f(x) - l | < et

 

65) autour d'habile :

C'est l'intervalle [ x₀ , x₀ et)

 

66) point d'accumulation habile :

Un point habile d'accumulation est eu quand dans chaque autour habile de ce point il y a au moins un autre point d'ensemble.

 

67) limite habile :

Si x₀ ? "^* c'est un point habile d'accumulation pour le ž l de X ? "^* ladite limite habile de f(x) est-elle pour x ® X₀ si pour chaque autour V de l un U habile de x _{0 que} telsexiste autour de celui pour chaque élément X concernant ceci autour l'exclusion de x₀ est eu qui f(x) ? V.

 

68) point d'extrémité :

C'est un point minimum ou maximum.

 

69) définition de la limite d'une succession :

> " et> 0 existent un N?? tels que pour le chaque n > N est eu cela |_{à n} - l |<et

 

70) règles de ou piccolo :

) à o(3x) = o(x)

b) o(x d'o(x)2) = o(x2) pour le ¥® de x tandis que c'est un o(x) pour x®0

c) X² * o(x) = o(x3)

d) o(o(x)) = o(x)

 

71) quand f(x) = O(g(x)) ?

Quand il est f(x) que le g(x) ils sont 2 infinis ou fonctions infinitésimales mais leur rapport a une limite finie.

 

72) quand g(x) de ~ de f(x) ?

Quand il est f(x) que le g(x) ils sont 2 infinis ou fonctions infinitésimales pour x ® X₀ mais leur rapport est unitaire.

 

73) conditions pour l'asymptote oblique :

) une limite finie à pour le ¥ de x®du rapport f(x)/x doit être eue, analogue pour x® -¥.

b) Si la limite finie est trouvée alors l'asymptote existe si la limite pour le ¥® de x du f(x) - la hache donne a en arrière fini une valeur de B qui correspond à l'ancien à l'origine de l'asymptote. Dans un tel cas l'asymptote a l'équation y = hache B.

 

74) conditions pour l'asymptote vertical :

L'asymptote vertical est eu quand la limite pour x®X₀ de la fonction est ±¥ est de la droite qu'elles donnent sur un gauche latéral ou simple.

 

75) définition de subsuccession :

Une succession {b_n} indique le subsuccession de la succession {_{à n}} si la succession étroitement croissante {k _n}avecdes valeurs existe dedans une? tels que b_n =_{à Kn} chaque pour n? ?.

 

76) définition de succession fondamentale :

Une succession {_{à n}} aux valeurs réelles indique le principe fondamental ou de Cauchy si "et> 0 existent un N?? tels que |_{à n}-_{à m}| <et pour chaque croisillon n, m > N.

77) définition de avec contrat pour des successions :

Une intégralité de K indique le contrat pour des successions si chaque succession aux valeurs en K convergent a un subsuccession à un élément de K.

Continuité

78) définition de continuité :

Une fonction est dite continue dans x₀ ?X si un de suivre est vérifié :

) x₀ sont un point d'isolement de X.

b) X₀ sont un point d'accumulation pour X et .

Il est équivalent à la définition de la limite mais avec l'avertissement à considérer également dirigez x₀ qui à la place pour les limites est ignoré.

 

79) définition de discontinuité dismissable dans x₀ :

Une discontinuité est-elle eue dismissable dans x₀ ? au dominion s'il existe finissait la limite pour x®X₀ mais est divers du f(x₀).

 

80) définition de discontinuité des espèces 1ª (ou du saut) dans x₀ :

Une discontinuité des espèces 1ª est-elle eue dans x₀ ? au dominion si elles existent a fini les limites pour x®X₀ est de la droite qu'elles donnent à gauche mais elles sont entre divers elles.

 

81) définition de discontinuité des espèces 2ª dans x₀ :

Une discontinuité des espèces 2ª est-elle eue dans x₀ ? au dominion dans le cas dans lequel au moins une des 2 limites elle n'existe pas ou elle est infinie.

 

82) la définition de l'uniforme de fonction continue :

La fonction f indique que l'uniforme continue si pour le chaque et> 0 un d existe > 0 tels que pour chaque croisillon x,y ?X avec ||de x/y||<d elle est eue cela || f(x) - f(y) || <et .

 

83) définition de fonction de lipschitziana :

La fonction f indique le lipschitziana dans X si constant L qu'un tel ³ 0 existe on cela || f(x) - f(y) || £ L ||de x/y|| pour chaque x,y ? X.

 

84) définition de fonction de Holderiana :

La fonction f indique le lipschitziana dans X s'ils existent des constantes L > 0 et 0<< 1 tels que || f(x) - f(y) || £ L ||de x/y||^à pour chaque x,y ? X. Où passer commande de Holderianità est dite.

85) définition de l'oscillation d'une fonction :

L'oscillation d'une fonction W dedans dans le bidon assument les valeurs suivantes :

¥ si f il n'est pas limité dedans à

sup f - FNI f si f il est limité dedans à

Derivabilità

86) équation de la tangente droite au diagramme de la fonction dans le point (x₀ , le f(x₀)) :

m(x-x ₀ de y=de f(x ₀))

 

87) définition de fonction derivabile :

Une fonction indique que derivabile si elle existe limite fini si une telle limite existe vient appelé dérivé.

 

88) définition de dérivé habile :

S'il existe limite fini il vient habile dérivé appelé.

 

89) définition de point angulaire :

On note un point angulaire est eu si f il est continu dansx ₀ et la limite du dérivé de la droite est diverse de la limite du dérivé de la gauche, qui l'un des 2 peut également être infini.

 

90) définition de cuspid :

Un cuspid est eu quand le dérivé avant de droit et le dérivé avant de la gauche sont des infinites de signe opposé.

 

91) définition de fonction de primitiva :

Une fonction de F indique le primitiva de f dedans si :

a) f est dedans I derivabile

b) chaque F '(x) = f(x) pour x ? I

Dans la bonne substance une le primitiva est la fonction que j'ai avant la dérivation et afin de me récupérer ayez-la la nécessité à intégrer.

 

92) définition de fonction convexe :

Une fonction f est ledit corps convexe dans un intervalle si pour chaque croisillon x,y?Le segment des extrémités (x, f(x)) (y, du f(y)) n'a pas des points sous le diagramme de f.

En d'autres termes il peut écrire que f il est convexe dans > pour chaque x,y?I, X¹y et pour chaque t ? (0.1) est eu :

tf(y) ty du £ de f((1-t)x ) (1-t)f(x).

93) définition de point de fléchi :

Un point de fléchi est eu si habile de x existe autour₀ dans lequel la fonction il est concave et autour de la gauche dans laquelle la fonction il est convexe ou viceversa.

Des fonctions plus variables

94-a) Définition de la limite dans "ⁿ au moyen des coordonnées cartésiennes :

si pour chaque autour V de l un U de x existe autour₀ dans "^{. n} tels que pour chaque x on a concerner ceci autour exceptéx ₀ qui f(x)?V.

 

94-b) Définition de la limite dans "ⁿ au moyen des coordonnées polaires :

" uniforme concernant q

c'est " autour de V de l un tel $ d > 0 qui " 0 < r < d et "q ha

95) définition de dérivé directionnel :

Si v sont un débiteur concernant "ⁿ et la fonction j_v (t) = f(x TV) est derivabile dans t=0 alors est définie dérivait directionnel dans la direction v de f dans x la limite.

 

96) définition de dérivé partiel :

Il est défini a dérivé l'ognuna partiel des dérivés directionnels effectués dans la direction d'un des porteurs de la base canonique de s'adapter vectorial de l'espace.

 

97) quand une fonction indique derivabile dans un point :

Quand dans ce point les dérivés partiels existent tous et donc le gradient existe.

 

98) définition de la fonction ayant comme le dominion différentiable "dans un point :

Une fonction f est différentiable dans un point X?(a,b) si oh l'o(h) pour h 0 existent à tel ce f(x h)=®f(x).

 

99) la définition de les différencie :

Elle les différencie que le df(x) représente l'incrément supporté de la fonction en raison d'un incrément dans le dominion et coïncide donc avec le df(x) de produit = le â(x)dx de f où dx = xx₀ .

 

définition 100) de la fonction ayant comme le dominion "ⁿdifférentiable dans un point :

Une fonction f est différentiable dans un point X?(a,b) s'il existe à? "ⁿ tels qu'o(du f(x h) = du f(x) < a,h >||h||) pour h®0.

101) signifié de l'affirmation f?C¹(x) ?

Il signifie que ce f il est derivabile dans X? "ⁿ et tous les dérivés partiels sont continus dans X.

 

102) qu'est les différencie en second lieu et pendant qu'on l'indique ?

f(x)de d² = < H_f (x)dx, dx >

 

103) écrivent l'expression de les différencie de l'ordre k dans x :

 

104) Polynomial di Taylor :

Si f il est des temps de m différentiables dans x?X la fonction est ledit polynôme de tailleur du degré m de f autour à x :

 

définition 105) de fonction convexe :

Une fonction est ledit corps convexe dedans à avec ouvert et corps convexe si pour chaque tf(x) comporté ty de £ du croisillon x,y f((1-t)x ) (1-t)f(y) pour chaque t entre 0 et 1.

 

106) point critique :

Un point X?À avec le point critique ouvert de f est dit si f il est différentiable dans x et si f(x)de ` = 0 pour chaque débiteur v? "ⁿ .

 

point 107) de Saddleback :

Un point X₀ indique du Saddleback pour f si x₀ sont un point critique de f et si f(x) de fonction - le f(x₀) admet des valeurs positives vous et des valeurs niées à vous dans lequel autour de x₀ .

Intégrales

subdivision 108) :

Une subdivision de l'intervalle [ a,b ] est une intégralité finie des points comportés entre à et du b

 

109) où une subdivision est plus bonne qu'une autre :

Une subdivision est plus bonne qu'une autre si elle contient au moins un point dans plus.

 

110) s(D inférieur de somme, f) :

La somme inférieure à la subdivision de D est ledit parent la quantité qui est la somme des secteurs des rectangles chacun dont a comme la base un intervalle de la subdivision et comme la taille, le minimum a supposé de la fonction dans cela espace dehors.

 

111) somme avancée S(D, f) :

La somme avançée à la subdivision de D est ledit parent la quantité qui est la somme des secteurs des rectangles chacun dont a comme la base un intervalle de la subdivision et comme la taille, le maximum a supposé de la fonction dans cela espace dehors.

 

112) fonction intégrable en second lieu Riemann :

Une fonction limitée indique intégrable selon Riemann dans l'intervalle [ a,b ] s'il s'avère que c'est si la fin avançée de avec des sommes inférieures est égale à la fin inférieure de avec des sommes avançées.

 

113) amplitude de la subdivision |D| :

La longueur de plus grand est ladite amplitude de la subdivision de l'intervallini caractérise à vous de la subdivision.

 

114) l'intégrale additionne (au Riemann) :

Être m on a la valeur de la limite dans un point intérieur à l'intervalle qui et si une fonction est intégrable selon le ž de Riemann pour le chaque et > 0 subdivisions de D existent unetels _et qui | I(f) - s(D_et , f) | < et .

115) si fonction intégrable de f dedans [ est-il un a,b ] et c?[ a,b ] alors très la fonction intégrale du parent de f est définie pour diriger c

chaque pour x?[ a,b ]

 

116) fonction intégrable dans le sens inexact :

Les 2 cas suivants sont présentés :

) une fonction f : (a,b ]® " avecà ?"ã?{-¥} ce il est intégrable selon Riemann " W ?(a,b) intégrable est dedans ledit sens inexact s'il existe finissait la limite

b) Une fonction f : [ a,b)® " avec le ¥de b ?"ã?{} ce il est intégrable selon Riemann " W ?(a,b) intégrable est dedans ledit sens inexact s'il existe finissait la limite .

117) fonctions absolument intégrables dans le sens inexact :

Une fonction définie f sur un intervalle est absolument intégrable dans le sens inexact si | f | il est intégrable dans le sens inexact sur le stesso d'intervalle.