1) si une fonction f est continue dans x₀ ? X et f(x₀) > 0 ž existe autour _{des 0} Ude x tels que f(x) > 0 pour chaque x ? U

 

2) c'est x₀ ? À et f(x₀) ? B et si f il est continu dans x₀ et g est continu dans le f(x₀) alors que le g°f composé de fonction est continu dans x₀

 

3) si une fonction est monotone sur un intervalle puis f qu'il peut doit plus infini comptable que les points de discontinuité, et sont seulement de l'espèce 1ª dismissable s'ils sont trouvés aux fins de l'intervalle).

Pour une fonction monotone la limite existe toujours et coïncide avec le sup ou les FNI à la deuxième des caisses donc si nous avons un point X_{0 qu'} elles devront exister ont fini les les deux les limites et , si elles sont égales la fonction sont continues tandis que si est divers la fonction présente une discontinuité de saut.

Elle reste pour démontrer qu'elle sait à vous possible sont l'infini comptable qui est qu'elles représentent une intégralité qui peut être placée dans le biunivoca de correspondance avec l'intégralité ?, à un tel besoin on l'observe que si nous considérons il sait à vous plus grand de 1/n avec n ? ? ils sont infini comptable pour chaque valeur que nous donnons à n et à siccome ? même qu'il est comptable réalise une partie que totalement nous aurons un infini comptable de discontinuité des espèces 1ª ou sautons.

4) théorème des zéros :

Description : Si une fonction continue définie sur un intervalle [ a,b ] suppose à ses valeurs non nulles d'extrémité et de signe opposé, alors f admet-il au moins un y zéro ? (a,b).

À supposer que f(a) < 0 tandis que le f(b) > 0 la démonstration de l'existence au moins un zéro se produit avec un procédé de dicotomico caractérisé des étapes suivantes :

a) le point moyen individuel c de l'intervalle les met en oeuvre

b) basé sur la valeur assumée de la fonction en c j'exécute une des étapes suivantes :

* f(c) = 0 j'ai trouvé le zéro. L'algorithme a accompli se produire.

* le f(c) < 0 que le point moyen les met en oeuvre devient le nouveau bord gauche de l'intervalle à considérer.

* le f(c) > 0 que le point moyen les met en oeuvre devient le nouveau bord habile de l'intervalle à considérer.

c) est retourné au point à).

D'une telle manière 2 des successions ont été créées, a {_{à n}} des bords de gauche et {b_n}des droites de bords, il doit démontrer que tous les deux convergent au même point y et que dans ce point la fonction vaut la peine 0, { _nen particulier} étant une succession monotone et limitée converge à un point y tandis que {b_n} converge au même point y dans combien la distance entre les limites n de la succession coûte égale un ce des bouts droits à 0 pour le ¥ ® de n. D'ailleurs le procédé de la construction des successions était tel que le £0de f{ _{à n} } tandis que le ³0de f{b _n } pour le ¥ ® de n. C'est seulement la continuité de la fonction à assurer que les deux limites pour le ¥ ® de ndoivent être égales et donc f(y) = 0 à nous.

5) si 2 fonctions continues f et g définis sur le même intervalle [ a,b ] sont est-ce que telle pour lesquelles à l'extrémité habile f il est plus grand de b tandis qu'à l'extrémité gauche g il est plus grand du ž de f existe au moins une solution y ? (a,b) du f(x) = du g(x) d'équation.

Le théorème des zéros est appliqué au f(x) de fonction continue - g(x).

 

6) une fonction continue sur un intervalle, pas nécessairement limité, assume toutes les valeurs comportées entre le sup et les FNI. Analogue il peut dire que l'image d'une fonction continue définie sur un intervalle, est même il un intervalle.

Pour chaque y comporté entre le sup et les FNI je m'applique le théorème des zéros au f(x) de fonction - y sur un intervalle choisi [ a,b ] de sorte que le signe de la fonction dedans à soit divers du signe de la fonction à b.

 

7) si une fonction f est continue et inversible sur un ž f d'intervalle elle est étroitement monotone.

On le démontre pour l'absurdité à supposer que la fonction n'est pas étroitement monotone et tirer profit de la continuité est réussi dedans pour démontrer que la fonction n'est pas iniettiva et n'est pas donc inversible, se rappelant que le monotonia serré implique que si dans le dominion X < est eu alors y < z dans l'image il a le f(x) < le f(y) < le f(z) tandis que pour l'iniettività convient que cependant le presi X, y, z a le f(z) de ¹ de f(y) de ¹ de f(x). Si nous supposons pour l'absurdité que le f(y) il est plus grand des autres 2 valeurs, on l'observe que dans l'intervalle entre y et le correspondant de point au mineur entre le f(x) et le f(z) comme exemple z (intervalle [ y,z ]) la fonction assume toutes les valeurs comportées entre les FNI et le sup entre que donc également la fonction de f(x) donc il n'est pas inettiva, cette confirmation la validité du théorème.

 

8) si f il est une fonction continue et inversible puis également l'inverse est continu dans son dominion si :

a) le dominion de f est un intervalle

b) le dominion de f est une intégralité fermée et limitée (contrat).

Vu le cas d'un intervalle :

Si une fonction est continue et inversible sur un intervalle puis pour 51) la telle fonction elle est étroitement monotone donc également la fonction inverse doit étroitement nonchè monotone être définie sur un intervalle dans combien d'image d'une fonction continue sur un intervalle. De la propriété des fonctions monotones la fonction est déduite que ychoisi ₀ doit exister e fini, affinchè s'avère continu ces 2 limites doit être égale autrement serait un saut, mais si l'image de f ^-1 étaient un saut alors qui est le dominion de f ne serait pas un intervalle contre l'hypothèse du théorème.

 

9) si j'ai alors une fonction continue sur un intervalle [ a,b ] :

a) f est limité dedans [ a,b ]

b) existe le maximum et la minute dessus [ a,b ]

c) l'image de f est comportée entre le maximum et la minute.

Le théorème est basé sur 3 hypothèses qui ne peuvent pas être affaiblies qui est f doit être une fonction continue, limité (qu'est à dire racchiudibile dedans autour d'origine) et être définies sur un intervalle fermé.

10) si j'ai une fonction continue définie sur un ž compact de K

a) le f(K) d'image est également lui compact.

b) si le  de K " existe alors le compte rendu et le maximum de f dans le f(K).

) la compacité du f(K) il implique cela, pris une succession y_K dans le f(K) que un subsuccession y _LK doit exister que des bouts droits à y₀ ? f(K) pour le ¥® de k , à un tel but il peut observer qu'une telle succession y_K est image d'une succession X_K sur K pour lequel, être K par le compact, existe un subsuccession X_LK qui s'étend à x₀ ? K pour le ¥® de k. Est la continuité de La de f dans x₀ s'assurant à nous que donc son image, subsuccession y_LK , bouts droits au f(x₀) et f(K) il est donc compacte.

b) dès que nous démontrerons que le f(K) il est le contrat qui est une intégralité fermée et limitée. Du limitatezza on le déduit pour Bolzano-Weierstrass qui doit exister les FNI et le sup tandis que se rappeler qu'une intégralité fermée contient également sa frontière d'elle la dérive que le Sup est équivalent au maximum et les FNI sont équivalentes à la minute.

 

11) si j'ai une fonction continue et inversible sur le contrat puis inverse est continu dans son f(K) de dominion.

Il est nécessaire de démontrer qu'une succession y_K aux valeurs dans le f(K) qu'elle étire à y?le f(K) (y il doit piquer non d'isolement dans combien si d'isolement l'inverse coûte continu dans y pour la même définition de la continuité dans un point) a comme succession X _K de l'imageune à la laquelle converge x = f ^-1(y). On suppose pour l'absurdité que x_K ne s'étend pas à f ^-1(y) qui est que son subsuccession X _LK existeun qui ne converge pas à f ^-1(y) (est rappelé que qu'une succession a chaque limite l > est-ce que son subsuccession a-t-il la limite l), de ce per² trouvant à nous sur compact peut être extrait un subsuccession X_JK qui converge à x ? K. La continuité de f dans x s'assure à nous que l'image de la succession X_JK s'étend au f(x) et le siccome la limite est seulement puis x = f ^-1(y). À ce point on l'a que le subsuccession converge à f ^-1(y) qu'il est donc partir impossible de l'hypothèse absurde que x_K n'étire pas à f ^-1(y) est atteint l'absurdité qu'on son subsuccession étire à la place à f ^-1(y) qu'il est impossible puisque les valeurs du subsuccession sont extraites à partir de la succession principale.

 

12) théorème de Heine - chantre

Description : une fonction continue sur compacte est également uniforme continu.

On le procède pour l'absurdité niant que la fonction est continue uniforme qui est existe et au moins₀ > un tel 0 tels que pour le chaque d > 0 sont 2 pointsX _d ety _d qui ils à être éloignés entre d'eux moins que d mais leurs images à être éloignés entre d'eux plus qu' et₀. Donnant à d des valeurs 1, 1/2..., successions 1/k 2 X _Ket y _Ksont obtenus ont constitué à partir des points qui nient la continuité uniforme de la fonction. Conclusion à nous mais sur un un pu² compact à extraire à partir du subsuccessionX _LK de x _Kun qui converge à un élément X. Du repos mais également y_LK il converge à x pour le ¥ ® _{de kilolitre} dans combien les éléments _kilolitre des 2 que le sottosuccessioni à être éloigné entre d'eux le dato de moins de1 _kilolitres que tous les deux le bout droit de sottosuccessioni à x, et pour la continuité de f, suivent que la distance entre les 2 bouts droits de sottosuccessioni à zéro à l'effet contraire de combien avant affirmé, partant donne donc chargent que le f n'est pas des extensions continues uniformes l'absurdité que le subsuccession respecte la continuité uniforme tandis que la succession à partir dont elle est extraite pas la respecte.

13-a) Si f et g elles sont 2 fonctions continues uniformes puis également f ± g et * f, ils sont des fonctions continues uniformes.

Pour le produit à la place il n'est pas vrai.

13-b) Si g il est une fonction continue uniforme dans X et f c'est une fonction continue uniforme dans le f°g de g(X) alors également est une fonction continue uniforme dans X.

La définition de la continuité uniforme du g°f est basée sur le fait que la distance entre les images de 2 points X et y concernant X est plus petite de et et la distance entre le g(x) et le g(y) est plus petite de d_{la 1} fonction de et qu'elle respecte la définition de la continuité uniforme de f, et d'ailleurs la distance entre x et y est plus petite de d_{les 2} que c'est fonction de d_{le 1} dont je répète est fonction et.

 

14) si f et un uniforme de fonction continue sur le ž f de X est estendibile avec la continuité R-alla.chiusura de X, une fonction existe qui est cela est la prolongation de f R-alla.chiusura de X au lequel est .

La définition de la continuité uniforme implique l'existence d'une limite finie et donc ne doit pas faire autre qui pour remplacer pour finir x₀ dans le f qui n'est pas défini la limite du f pour x ® X₀ .

 

15) si une fonction f est continue uniforme dans le ž de X il elle est également dans chaque sottoset de X

 

16) si X sont un avec limité alors

la fonction f est continue uniforme > f est estendibile avec la continuité à .

le ž déjà est démontré au point 58)

? Il est continu uniforme dans combien continu sur le contrat qui pour 59) lui implique ce coûte uniforme continue également sur X et puisque sur X coïncide avec f, suit que f il est uniforme continu.

17) si f il est continu uniforme dans X puis f il est limité dans chaque sottoset limité de X.

La fonction f est continue uniforme également dans chaque sottoset à de X, et donc R-alla.chiusura de au au pouvoir être prolongé avec la continuité qui est sur ce que mais est limité dans combien pour une fonction continue sur compacte existe le maximum et la minute, et donc puisque dessus coïncide avec f de lui réalise que f il est allumé limité à.

 

18) si f il est continu uniforme dans X et le  X de l'intervalle [ b, ¥ ) existe alors à, un tel ³ 0 de B cela |f(x)| hache B de £ pour chaque ³ b de x.

Pour la symétrie il est suffisant pour démontrer qu'un tel ³ d'A,Bexistent 0 ce £ de f(x) chaque hache B pour le ³ b de x.

Étant l'uniforme de fonction continue, plaçant et = 1, on l'a que pour assurer chaque croisillon x,y suivant à un point sûr b l'inégalité est vérifiée |f(x)-f(y)| < 1.

Le remplacement en cela au lieu de y le point b et le disuguagliando par Cauchy-Schwarz on l'a que qu'à la fin de l'intervalle, c'est dans le point b d, il est le £ 1 du f(b d) |f(b)|.

Si à la place il est remplacé à y le point b d et disuguaglia de silicium par Cauchy-Schwarz qu'il a cela à la fin de 2° l'intervalle, c'est dans le point b 2d, il est le £ 2du f(b 2 d) |f(b)| .

Continuant et joignant ensemble les valeurs de la fonction aux fins de ces intervalles on obtient droits qui de b dans alors tous sont trouvés au-dessus de la fonction.

 

19) dans le cas que f est allumé une fonction continue avec puis l'affinchè sans limites c'est également nécessité continue uniforme continu qu'uniforme dans chaque sottoset soit limité de X et doit être vérifiée une des 3 conditions suivantes.

a) X est limité inferiorly (advancedly) et f il a un asymptote horizontal ou oblique pour le ¥® de x.

b) X est limité inferiorly (advancedly) et existe un tel R qui dans (R, ¥) f est lipschitziana.

c) f est périodique dans X.

là où pour inferiorly limité convient qu'avec de la définition de la fonction elle ne comporte pas -¥.