Teoremas en la serie numrica
Criterios de la convergencia
1) criterio de Cauchy
La serie 
es convergente > " y > 0 tales $ N para 
el cual cada n > m, m 0 que es si
el resto parcial es ms pequeo de y .
2) Corollario del criterio de Cauchy:
La condicin necesaria de modo que converja la serie es sa 
Se obtiene del criterio de Cauchy que coloca m = 0 y que observa que " n > N deben ser |a n| < y .
Criterios de la convergencia para la serie a los trminos no negados a usted
3) criterio de la comparacin:
Si series y
son ambas
a los trminos no negados a usted y si a NOTAn " n 0 >
a) Si la serie es
convergente, entonces l es tambin la serie
b) Si la serie es
divergente, entonces l es tambin la serie
c) Para el criterio de Cauchy, el ser
convergentede b n,
tiene 
entonces ser " n an < bn , sigue que est 
tambin por lo tanto para el mismo criterio de Cauchy
que la serie es convergente tambin.
4) Corollario del criterio de la comparacin
Si las series yestn al positivi de los trminos yal
~ b nde n las 2 series tendrn el mismo carcter.
Recordando que 2 series son asintticas si 
y por lo tanto puede ser dicho quea n se abarca entre 0.5bn 1.5 ebn y por lo tanto si como diverge un
ejemplob n, tendr que
divergir tambina n .
5) criterio de la raz
Sies una serie a los trminos
0 no negados a usted si existe l < un 1 y tal N que " n > N se tiene 
la serie es convergente
Se demuestra observando eso para n N que debe estara n ln y por lo tanto la serie converge en cunto es una serie geomtrica de razn l < 1.
6) Corollario del criterio de la raz
Sies una serie a los trminos
no negados a usted si existe
el
lmite
a) la serie es convergente si l < 1
b) la serie es divergente si l > 1
7) criterio de Raabe:
El SE 
la serieconverge absolutamente.
8) criterio del Relazioneship :
Sies una serie a 0 positivos le llama
y existe < l < 1 tal uno quin 
la serie es
convergente
Se gana para la induccin, si suponemos para cada n nos tenemos quea 1 la 0 ,2 l a1 l (la 0) y por lo
tanto va por lo tanto est tuvo quen ln a
0 por lo tanto que observa que la serie lnde S a 0 tiene el mismo un carcter de la serie Sln cul converge siendo la serie geomtrica y el l<1, sigue
alguno que
converge S a ntambin .
9) Corollario del criterio del Relazioneship
Sies una serie a los
trminos positivos usted y existe el lmite 
>
a) la serie es convergente si l < 1
b) la serie es divergente si l > 1
10) criterio integral :
Si el f(x) l es una funcin positiva, contina y
disminuir para x tal N y ese f(n) =a n y por otra parte existe terminado 
converge.
Para el monotonia est tuvo quen
1 = f(n) del f(x) del f(n 1) =a n por lo tanto que integra entre n y n 1 y aprovecharse de
eso en los abscissas el paso es aqul de los nmeros naturales que
es 1 haa n 1 
a n y a agregar el intervallini
a 2 a3 ...a
m 
a 1 a2 a3 ...a m . Alcanza alguno que que si converge el integral
entonces la suma a la izquierda sea crescent y limitada advancedly y
por lo tanto admitir lmite.
11) criterio de la condensacin
Si {a n} es
una sucesin a los trminos no negados a usted y disminuirla
entonces converge > converge la serie 
Los criterios de la convergencia para la serie a los trminos con randomico firman
12) si 
la serie es convergente la serie es convergente.
Si converge desea decir que para el
criterio de Cauchy una N exista : " n, m > N ha | a n | |a n 1| ... |a n m| < y del
resto para la desigualdad triangular est tambin | a n a n
1 ...a n m| < | a n | |a n 1| ... |a n m| < y y por
lo tanto el mismo criterio de Cauchy dice a nosotros que tambin converge la serie.
Criterios de la convergencia para la serie a los trminos con la muestra alternada
13) criterio de Leibniz:
La serie 
con an > 0 "n es
convergente a condicin de que :
a) la sucesina n es el decrescente b)
El trmino genrico de la serie es sn =a 0 -a 1 a2 -.... (-1)nan (donde los trminos iguales se agregan claramente y se desfalcan los trminos desiguales) puede ser observado que el igual redujo unos est disminuyendo en el hecho s2n 2 = s2n - (a 2n 1 -a 2n2) s2n donde l utiliza el hecho que {a n} est disminuyendo por lo tanto el penltimo trmino prevalece en el pasado. Por el contrario en lugar de otro reducidos los desiguales son el infatti s 2n1 de las crescent = s2n -1 (a 2n -a 2n1) s2n - 1 .
Siendo por otra parte s2n 1 = s2n -a 2n 1 y al trmino genrico an > 0 si de l deduce ese s2n s2n 1 s2n-1 .... s1 donde se ha aprovechado la disminucin tan pronto como estuvo demostrado por lo tanto la sucesin del igual redujera unos l est disminuyendo y limitado inferiorly por lo tanto le converge, supone a S, pozo tambin que la sucesin reducidas las desiguales converge a S en reasumir del hecho el s2n 1 = s2n -a 2n 1 y al sfruttando b) deduce que para n® ha s2n 1 = s2n .
14) criterio de Abel - Dirichlet:
Si {a n} es una
sucesin a los valores complejos que redujo el n-esime que son todos
que se limitan y {bn} est una
sucesin a los valores verdaderos que estira el monotonamente a 0, la serie 
es convergente.
puede 
ser el maggiorare donde segn
miembro no est otro ese el frmula del sommazione anlogo para las
piezas a la integracin para las piezas. Est recordando que
reducidos n-esimea n estn
todos en el mdulo ms pequeo de M y que {bn } una sucesin que disminuye que sigue
el 
de las cuales resumen que se convierte ha = 2
b P.M. < 2 y M por lo tanto para el carcter arbitrario de y y el criterio de Cauchy se
sigue que 
la serie es convergente.
Operaciones en la serie
15) producto de una serie para un nmero:
: =
por otra parte la serie tiene el mismo carcter de la serie
16) suma de 2 series:
: =
y si ambas las series son
convergentes entonces es tambin la suma de la serie.
17) producto (segn Cauchy) de 2 series:
*: =
essendo 
18) teorema de mirar Mertens el producto (segn Cauchy) de 2 series:
Siy ellas son 2
series convergentes y uno de los 2 es tambin absolutamente
convergente entonces la serie producidaes
convergente con la suma C=AB
En relac'ion con a caracterstica sociable y comutativa la serie
19) para la serie convergente o divergente vale la caracterstica sociable que es si una serie de S es b creadon de el cual cada trmino que es suma de algo de San , las dos series tiene el mismo carcter.
20) si San es una serie absolutamente entonces cada convergente su riordinamento es tambin absolutamente convergente y tiene la misma suma.
