Teoremas en los sistemas
1) si existe un mximo para con esto est solamente.
Se razona para la absurdidad, se es una supone que m1 y m2 es 2 mximos, recordando que un mximo no es otro de las cuales una pieza de fabricacin del maggiorante con de aumentado le, alcanza alguno que 1 esm que m2 debe pertenecer a junto y por lo tanto el ser m1 m mximo2 precede o es igual a m1, el ser anlogo el mximom 1 de m2 precede o l es igual a m2, alcanza alguno que los 2 pueden coexistir solamente si m1 = m2.
2) una totalidad pedida totalmente es X y est a X, con a terminado y no vaciar a l admite mximo y mnimo.
Se demuestra para el semiinduction:
* si tengo un solo elemento entonces que es mximo y mnimo.
* si tengo 2 elementos entonces que hago la comparacin y encuentro el mximo y el minuto.
* si tengo elementos de n entonces que hago n-1 enfrenta y determina el mximo y el minuto.
Esto es verdad escoge si a l se termina (que se constituya de una n de los elementos n, con n), y el ordenar es total.
3) caracterstica de la densidad en Q:
Descripcin: " x, y con x < infinites de y $ tales elementos z esos x < z < y
Uno toma el promedio entre x y y y un punto z 1 se encuentra despus de lo cual l las tomas el promedio entre x y z1 y encuentra z2 y por lo tanto va.
4) caracterstica de Archimedes en Q:
Descripcin: " x, y > 0 $ de n tales que nx y
X = es p/q colocados ed y = r/s a este punto bastante a elegir n = qr para hacer ese nx = banda r/s.
5) caracterstica de la minuciosidad de " :
Descripcin: est a " , a 0. Si a ella se limita advancedly(admite por lo menos un maggiorante) $ Sup a entonces " (que sea los $ ms pequeos del maggioranti). Anlogo si a ella se limita inferiorly(un minorante) $ Inf (que sea el ms grande admite entonces por lo menos del minoranti).
6) caracterstica de la densidad en " :
Descripcin: " x, y con x < los nmeros de los infinites de y $ los raciona z tales que los elementos del irrazionali de x < de z < de y y de los infinites con la misma caracterstica.
La caracterstica de Archimedes concurre nosotros para decir que existe una no tales que son los puntos en medio i de la distancia x y y > 2*10 - n0
por lo tanto una alineacin existir diezma los abarc entre x y y - 10 - n0 . Ser bastante para agregar figuras el pasado de esta alineacin para encontrar otros nmeros abarcados entre x y y, las figuras agregadas pueden crear son lmites de las alineaciones a usted o vida que da peridica por lo tanto a los nmeros los raciona, que alineaciones que l no se limita y la vida que daba no peridica a los nmeros del irrazionali, todos a usted riguroso abarc entre x y y.
7) desigualdad de Bernoulli:
Descripcin: " h " , con h > -1 1 es chetenido( 1 h) n nh
Se demuestra para la induccin.
Para se obtiene n = 0 1 1 que verificacin la desigualdad.
Se supone que verdad para n y ella est demostrado para n 1 en detalle descompone la energa adentro (1 h)n 1 el 1 (n 1)h y l se obtiene al primer miembro (1 h)n (1 h), a este punto se puede escribir a 2 el miembro con la desigualdad demostrada al paso n y compensar el trmino (1 h) multiplicndolo tambin a 2 el miembro, es quindi obtenido
(1 h)n 1 1 (n 1)h nh2 1 (n 1)h
donde el trmino los centra se obtiene del producto (1 nh)(1 h). Por lo tanto la desigualdad se verifica tambin para n 1.
8) cuntas permutaciones son posibles con los objetos de n
Descripcin: Pn = n!
Se demuestra que considera que para pedir 1 objeto en 1 el caso all es varias maneras de n, por lo tanto para pedir 1 objeto en 2 el caso es las varias maneras n-1. Al k-esima el caso hemos puesto los objetos n-1, si k = n entonces Pn = n!
9) cuntas permutaciones son posibles con los objetos de n de qu igualde k 1 en medio ellas y del igualde k 2 unos entre vario ellas pero de kel 1
Evidentemente si algunos elementos iguales son que hace algunas permutaciones idnticas y por lo tanto de l reduce el nmero total que es estrinsecato de n! . En el fattispecie la restriccin sucede el dividendo n! para el nmero de combinaciones invalid el igual (n_elementi_uguali)!
10) estn a y B 2 fija contable. Entonces AxB es numerabile(can se coloque en biunivoca de la correspondencia con ).
Se demuestra que pone los elementos de los 2 sistemas en una matriz y que usa el procedimiento diagonal del cantor para su scansion, de tal manera que cada elemento viene cogido para arriba un solo rato y por lo tanto que se tiene un biunivoca de la correspondencia en medio junto y .
11) la totalidad " no es contable.
Se demuestra para la absurdidad que afirma que el 0.1) equipollente del intervalo (a es contable " y que demuestra que una n puede ser creada a la cual no pertenece con por lo tanto construido obtenido cambiando el nmero del i-esima del i-esimo el nmero, por lo tanto no el biunivoca de la correspondencia en medio junto es uno y en cunto no es suriettiva la funcin.
12) demuestra que si f es crescent adentro a y g que es crescent en gf del f(A) es crescent adentro a.
Se demuestra observando que si f es crescent adentro si x1 x2 sigue ese f(xdel f(x 1)2), por otra parte si g l es crescent en el f(A) g(f(x1)) g(f(x2)) y por lo tanto el gf l es crescent.
13) demuestra que la composicin de una funcin para su inversa es el uso idntico.
Es inmediato.
14) desigualdad de Cauchy - Schwarz:
Descripcin: " x, y " tiene che 2|xy| x2 y2
Se utilizan se tienen los productos notables,:
(x y)2 0 x2 y2 2xy 0 x2 y2 -2xy
(x - y)2 0 x2 y2 - 2xy 0 x2 y2 2xy
y recordando eso |xy| = xy si > 0 e xy |xy| = - xy si se demuestra < 0 xy la desigualdad.
15) desigualdad de jvenes:
Descripcin: " x, y, y " tiene che 2|xy| yx2 y2/y
se coloca el ed x = u/a el substituir de y = del sistema de pesos americano se obtiene a 1 miembro 2|uv| a cul se puede aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz y por lo tanto los 2|uv| u2 v2 que substituye para para obtener un disequazione en x y y se obtenga:
2|uv| a 2a x2 y2/a2 en los cuales
puede ser substituida =
.
16) el variar de la desigualdad triangular:
Descripcin: | ||x|| - ||y|| | || x - y ||
Se da la parte ||x|| a su interior uno ensambla y desfalca el dopodich de y aplica la desigualdad triangular ||x y|| ||x|| ||y|| y ottiene ||x|| - ||y|| || x - y || mientras que se van dan ||y|| se alcanza ||y|| - ||x|| || x - y || = || y - x || y finalmente aprovechndose de las caractersticas del mdulo, se alcanza para demostrar la tarea.
17) x est de acumulacin para y > cada alrededor de x contiene las cabezas de los infinites de y.
Todas las afirmaciones con > se demuestran que demuestran las 2 partes posterioras e por separado .
es banal en hecho define el punto de acumulacin x el tener en cada su alrededor a y un punto x del punto
si x est de acumulacin para y entonces en cada su alrededor est por lo menos un punto de y, un punto se encuentra y dentro al 1 de alrededor y se asume eso ||xx1|| es la viga del nuevo alrededor, ante su interior un nuevo elemento se encontrar de y que diferente del 1 se encuentra en cunto alrededor es una estructura que excluye los puntos que estn en el borde.
Despus de que todo por lo tanto la definicin del punto de acumulacin diga a nosotros que en cada su alrededor hay por lo menos un punto y vario de x, este refrn exacto del teorema que en el ce n de la verdad ' no es uno solo solamente los infinites seala.
18) si F es una familia de los sistemas abiertos de "n entonces F con se abre "de n .
Si x pertenece a la unin de la totalidad de la familia de sistemas x debe pertenecer a uno de estos sistemas que constituyen a familia, como ejemplo a con a cul est un abierto a las cuales desea decir que cada su punto sea interno picado y por lo tanto tambin x, debe por lo tanto existir uno alrededor de x contenido totalmente adentro y por lo tanto contenido totalmente en F. Por lo tanto x es interno picado a F y para el carcter arbitrario con el cual hemos elegido x sigue que todo los puntos de i de F es interno picado y por lo tanto la totalidad F est abierta.
19) si F es una familia terminada de "n abiertalos sistemas entonces F con se abre "de n .
Se puede considerar el caso de 2 sistemas abiertos en y de B, tomas un punto x que pertenezca est a se a B y se demuestra que entero est contenido adentro a B, es que es punto interno y por lo tanto la totalidad F est una abierta. Para contener x adentroa B sea necesario elegir alrededor de la viga mnima entre la viga de las cuales concurren con x de ser internos picada a y de la viga que concurre a x de ser interna picado de B.
20) si y es una totalidad cerrada y contiene su fronteray y.
Si x no pertenece a y entonces unavoidablly pertenece a la C complementariay se abre que con l (siendo y cerrado) y los puntos internos solos por lo tanto constituidos l alcanza alguno que x es interno a Cy y por lo tanto no pertenece a y, en la conclusiny y.
21) si y contiene su frontera y E y contiene todos sus jefes de la acumulacin.
Recordando que un punto de la acumulacin para y es o un punto de la frontera o un punto interno y observacin de eso y contiene tambin su frontera de l alcanza eso y contiene todos sus jefes de la acumulacin.
22) si y contiene todo su l dirigi de accumulazione y es cerrado.
Es necesario demostrar que la C complementariay con est abierta que es que contiene las cabezas a solas internas que es obvio porque si x no pertenece a y entonces no pertenece no uniforme a la frontera de y (ya que decir eso y lo contiene sus puntos de acumulacin es equivalente decir eso y y) entonces x no debe ser punto interno a la C complementariay que por lo tanto es con abierto.
23) teorema de Bolzano - Weierstrass:
Descripcin: Es y "n limitada (la PU se incluye adentro alrededor del origen) e infinitamente (constituido de n a infinitamente de elementos) Esiste en "n por lo menos un punto de la acumulacin para y.
a) un candidato a la picadura de la acumulacin se encuentra:
Estando y limitado despus un rectngulo T 0 en una posicina incluirla existe, puesto que y es infinito, este rectngulo contiene las cabezas de los infinites de y, los 2 pasos siguientes son entonces ejecutado ricorsivamente:
1) subdivide el rectngulo en el parti 4.
2) elige entre los 4 rectngulos creados un rectngulo de el cual todava contenga los jefes de los infinites y.
3) ensambla a la sucesin de S de los bordes izquierdos de los rectngulos un elemento que est de el anterior.
4) ensambla a la sucesin de D de las derechas de los bordes de los rectngulos un elemento que est de el anterior.
5) ensambla a la sucesin de B de los bordes bajos de los rectngulos un elemento que est de el anterior.
6) ensambla a la sucesin de los altos bordes de los rectngulos un elemento que est de el anterior.
De la observacin que los sistemas por lo tanto los construyeron son lmites a usted y por lo tanto por otra parte admiten por lo menos un maggiorante y un minorante que encuentran a nosotros en ", porque la caracterstica de la minuciosidad el mnimo del maggioranti existe que es el Sup y el mximo del minoranti que es los Inf gana la condicin del escape del ricorsione que es debe ser che obtenido Sup(S) = Inf(D) y que los valores de Sup(B) = de Inf(A) que vienen cogieron para arriba en la distancia entre el sup y los inf l se da de la distancia entre los bordes que los comienza uniformes para la n n arbitraria de las subdivisiones ejecutadas. El punto que posee estos coordenadas resulta por lo tanto a candidato a ser un punto de acumulacin.
b) se demuestra que el punto encontrado est de acumulacin
Debe ser demostrado que tal punto es de la
acumulacin que est sa en cada su alrededor de la viga y existe los jefes de los infinites de
la totalidad, para hacer ese bastante para incluir el rettangolino
adentro alrededor de la viga centrada y
en el punto x, ste est obtenido
que centra en el candidato del punto el cuadrado [ sup(S) - 
, ]x[sup(B) del sup(S) - , sup(B) ].
Colocando tales ajustados en un crculo, ser tenido que
el crculo tiene viga y , se
centra en x y contiene los jefes de los infinites con para del pacto
que empuja el proceso de la subdivisin hasta el punto en de el cual
la distancia entre 2 bordes del rettangolino es ms pequea .
24) si y es" n l una totalidad cerrada y limitada existe Max(E) y Min(E)
Limitada, para la caracterstica de la minuciosidad, implica la existencia del Sup y de los Inf que estn de los puntos de la frontera y puesto que una totalidad cerrada contiene tambin su frontera de ella alcanza eso y contiene los Inf y el Sup que por lo tanto son minutos y mximo respectivos.