Teoremas en los integrales
1) si es f l una funcin y una D 1y una D limitadas2 es 2 subdivisiones de [ a,b ]
a) si D1 es ms fina que D2 tiene s(D 1,f) S(D 1,f) S(D 2,fdel s(D 2 ,fdel che))
b) s(D1,f) S(D2,f)
a) En la orden que demuestra ese s(D1,f del s(D 2,f))
suponemos que existirD 1
tiene solamente un punto z en ms con respectoa D 2 por lo tanto una k
abarcada entre 1 y n tal que el punto z est abarcado en el intervalo
(xK-1 , xK) por lo tanto no hace otra que para escribir a s(D2,f) como suma de 3 trminos
de los cuales el 1 l sea la suma inferior hasta al punto que eso
precede k, 2 el trmino es el producto del intervalo (xK-1 , xK) para el mnimo en el mismo intervalo y 3 el trmino
es la suma inferior de k 1 hasta a n. Eso es 
entonces se observa que 2 el trmino es seguros del trmino que obtendramos que suma inferior
en el sottosuddivisione (xK-1 , z, xK) en cunto las
ms finas con respecto (xel K-1 , xK) y observacin de
que la unin de este sottosuddivisione ms fino con 1 y 3 el
trmino no son ese s(D1, f), que la demostracin anloga l se
puede hacer para las sumas avanzadas y sa de una manera generalizada
que se tiene 
, resulta demostr la pieza a)
del teorema.
b) debe ser demostrado que el s(D1,f) S(D2,f), si las 2 subdivisiones del confrontabili son este siempre verdades (como se demuestran en la parte a) del teorema), si en lugar de otro las 2 subdivisiones ellas no estn el confrontabili entonces se puede tomar una subdivisin D3 : = D1 D2 que es ms fina que ambos y afirmar bas en la parte a) del teorema eso
se demuestrael s(Ddel s(D 1 ,f)3,f) y tambinS(D3,f )S(D2, f) y puesto que para cada subdivisin de D es s(D tenido, f) S(D, f) despus de que todo el conglobando estas 3 desigualdades tengas(D1,f )S(D2,f) y el teorema.
2) si f es una funcin limitada en un intervalo [ a,b ]
f "(, b) > " y $ uno tal subdivisinde D y [ a,b ] de ese S(Dy ,f) - s(Dy ,f) < y
Si f "(a,b) entonces 
y para la definicin de
los inf es tenida que llevado y > 0 una subdivisin y tal de $uno D que S(Dy ,f) < subdivisin y ' tal de D y /2
y uno que
s(Dy y / 2 ' de,f ) > -. Despus de toda la una subdivisin de D
que tomay : = Dy Dy ' ella sern tenidas eso
S(Dde S(D y de,f) -s(D y,f )S(D y',f) -y,f) < y / 2 - I(f) - y / 2 de I(f) = y .
tiene el segundo integrabilit Riemann cuando la diferencia entre el final avanzado de las sumas del inferior y el final inferior de las sumas avanzadas, estiramientos a 0, que est obtenido que considera que tal diferencia est abarcada entre 0 y la diferencia S(Dy ,f) - s(Dy ,f) < y que puede ser a.voluntad pequeo rendido que funciona encendido y.
3) si f l es una funcin continua en el intervalo [ a, b ] f "(a,b)
Se observa que una funcin continua en un
intervalo limitado es tambin continua uniforme en la misma por lo
tanto para cada y > 0 una d
se puede encontrar > 0 tales que 2 tomados puntera cualquiera en
el dominio que distancia mutua es ms pequea de d , se tienen que sus imgenes se
encuentran inferior en una distancia a y / Ba. Bastantes por lo tanto para elegir una
subdivisin de Dy que la
amplitud |Dy| l es ms pequeo de d y podr ser encontrado de el cual la diferencia
entre el minuto y el mximo en el solo espacia hacia fuera es ms
pequea y / Ba y por lo
tanto tambin la diferencia entre las sumas avanzadas y las sumas
inferiores resultar ms pequeo y en de hecho 
y de recordar eso si S(Dy ,f) - s(Dy ,f)
< y entonces f "(a,b)
alcanza alguno que el teorema est demostrado.
4) si el monotona de la funcin de f en el intervalo es una [ a, b ] f "(a,b)
La idea de la demostracin es traer de nuevo a nosotros a poder afirmar eso " y > 0 $ Dy , subdivisin de [ a,b ]: S(Dy ,f) - s(Dy ,f) < y
La entrega por lo tanto a partir de la 1 el miembro de este ltimo y yo demuestra que l es ms pequeo de y :
en cunto si se asume que el monotona de la funcin es
el f(x el aumento de l tenido) Mel f(x i-1)m ide
e
en cunto |Dy| es la amplitud del intervalo ms grande de la
subdivisin.
en cunto es limitada la imagen de una crescent del
monotona de la funcin de los 2 valores asumidos a los finales del
intervalo.
Eligiendo por lo tanto la subdivisin de Dy de modo que 
tenga S(Dy ,f) - el s(Dy el,f) < y entonces la f "(a,b).
5) si f l es una funcin limitada en el intervalo [ a, b ] y tiene una n terminada de puntos del discontinuit f "(a,b)
La idea de la demostracin es traer de nuevo a nosotros a poder afirmar eso " y > 0 $ Dy , subdivisin de [ a,b ]: S(Dy ,f) - s(Dy ,f) < y
y por lo tanto f "(a,b). Suponemos que el punto de la discontinuidad est a un extremo, como un ejemplo a y la consideracin de x(a,b) le se tiene que en el intervalo [ x,b ] f "(x,b)que es " y > 0 $ son subdivisin continua y tal de funa D que est tenido
S(Dy ,f) - s(Dy ,f)
< y / 2. En el
intervalo [ a,x ] en lugar de otro se tiene 
en cunto para la minuciosidad la
caracterstica si f l entonces se limita admite los inf y el sup y
los supone K = sup | f |.
eligiendo tal punto x eso 
el elegir por lo tanto como la subdivisin Dy = Dy {} l se tiene:
El)(xde S(D y
de,f) -s(D y,
f) = (M 1 -m1 - a) S(Dy ,f) - s(Dy , f) < 
y por
lo tanto el teorema se demuestra.
6) si f l es una funcin limitada en el intervalo [ a, b ] f es integrabile segn Riemann > existe L " para cul "
d > 0 y >0 "tales que " subdivisin de D que es amplitud |D| < d que resulta |s(D,f) - L |< y .
7) si f y g que son funciones del integrabili a f bg es una funcin integrabile adentro (a,b) y vale:
PU para observarse eso
a) el final avanzado de la suma de la funcin est de la suma de los finales avanzados de las solas funciones
b) el final inferior de la suma de la funcin est de la suma de los finales inferiores de las solas funciones.
c) Est multiplicando las sumas del inferior y las sumas avanzadas para la misma constante el integral de el cual la diferencia no puede que sea constante.
8) si f y g ellas son las funciones y f g del integrabili
Es necesario demostrar que el integral del h(x)
de la funcin: = g(x) - f(x) es 0, eso viene
abajo del hecho de que el h(x) 0 en cunto f(x) del g(x) por lo tanto tambin no es negativo el
final inferior de h y recordar la desigualdad mltiple l est tenido que 
y el teorema est
demostrado.
9) si f y una funcin integrabile
a) f es integrabile
b) f - l es integrabile
c) |f| l es integrabile
se tiene d) que 
, en detalle se
tiene 
a) Para deber demostrar f que l es integrabile que " y > 0 $ Dytal que S(Dy ,f ) - s(Dy ,f ) < y , para hacer que se aprovechen del hecho de que f es integrabile y por lo tanto S(Dy ,f) - s(Dy ,f) < y . Se tiene:
donde la caracterstica obvia de f se
ha aprovechado en segundo lugar que 
.
b) Que f - l es integrabile se demuestra de manera anloga a cunto hecho para f .
c) se demuestra que recuerda eso | f | = f f - y la aplicacin del teorema 120) para la composicin del integrabili funciona.
d) 
infatti f = f f -
donde he aplicado la desigualdad triangular
en el pasado he utilizado esa f y f - son funciones positivas y por lo tanto tambin sus integrales, y che | f | = f f - .
10) si f y una funcin integrabile adentro (a,b) y c (a,b) entonces f l es integrabile tambin en (a,c) y encendido (c,b) y resulta:
a) Demostracin que f "(a,c) y f"(c,b)
Si f l es integrabile en una subdivisin de D, entonces est a mayor razn en una subdivisin de Dy ms fino que est ensamblando al punto c de D. Tendremos por lo tanto las subdivisiones siguientes: Dy : = Dy (a, c) e Dy ' : = Dy (c,b)
el varr siguiente de la igualdad por lo tanto:
pero f es integrabile a lo largo de la subdivisin Dy por lo tanto 
y tendr por lo tanto ser:
f "(a,c)
f "(c,b)
b) Demostracin eso
en quanto viene utiliz 2 subdivisiones ms
finas que Dy . Del resto
se tiene 
y por lo tanto para el carcter arbitrario de y el teorema se demuestra.
11) teorema del promedio:
Descripcin: Si f l es una funcin integrabile adentro (a,b) y m es los inf mientras que M es el sup siempre encendido (a, b)
por otra parte si f $ c para la cual sea continuo 
Se tiene recordar
la
desigualdad e puesto que para la hiptesis del teorema f l es por
lo tanto s(D integrabile, f) = S(D, f) que 
y
dividendo para (Ba) el teorema se demuestra.
Para demostrar 2 la pieza bastante para considerar que la
imagen de una funcin continua definida en un intervalo sigue siendo
un intervalo y por lo tanto tal $ c eso .
12) si f l es una funcin integrabile adentro (a,b) y contina en x0 (a,b) y c (a,b) entonces la funcin integral
es derivabile en x0 y resulta F ' (x0) =
el f(x0).
Siendo f continua en x0 se tienen que " y exista > 0 d > 0 tales que |xx0| < d e | f(x) - f(x0) | < y se es
f(x0) -y < el g(x)
del f(x) del f(x)<f(x 0 ) y
demostrado y teniendo eso si > entonces 
,
puede ser escrito:
para dividir todos para (xx0) y el ottenere 
En cunto f(x0) y y el f(x0) -y es constante.
Del resto 
= 
en hecho
se tiene:
despus de todos por lo tanto 
se
obtiene el ossia F ' (
x0) = el f(x0).
13) teorema fundamental del clculo integral:
Descripcin: Si f l es una funcin continua encendido [ a, b ]
a) la funcin integral es
derivabile en todos [ a,b ] y su derivado es f(x) para cada x [ a,b ].
b) Si G es un primitiva de f adentro [ a, b ] 
a) Sigue simplemente de la demostracin anterior que la observacin que el stavolta la f no es continuo en el solenoide al punto pero en cada punto de [ a,b ] y por lo tanto la funcin integral ser derivabile en todos (a,b) y su derivado ser f.
b) llevando un punto c adentro al segmento [ a,b ] puede 
ser scindere y siccome que diferencia el primitivo
solamente menos que uno constante este elide con - por lo tanto
estar tambin y el teorema por lo tanto se
demuestra.
Empleado de los integrales de un parmetro
14) si es f l una funcin continua adentro [
a, el b]x[c, d ] 
es continuos encendido [ c,d ]
y
a) 
por lo tanto PU solamente
que se estimar el integral del lmite
b) Si f y fY es continuas en [ a, b]x[c, d ] j all ([ c, d ]) y 
a) Es necesario demostrar eso | f(y) - f(y0)| < y a tal
puntera substituye la definicin de f para el ognuna del maggiora 2 por el mdulo llevado bajo
muestra del integral que es: 
y recordar que la
funcin f es continua en compacta tiene que es tambin continuo
uniforme por lo tanto " y > 0 existe d > 0 tales que para cada apoyo y, y0 [ c,d ] con |0y-y|<d se tiene que 
se substituido en
anterior el integral pasado da detrs
si |0y-y| < d y
quindi | f(y) - f(y0)| < y .
b) El irse del Relazioneship que la definicin de
esta ltima los aumenta de usar de la funcin j (y) se
obtiene: 
Se tiene la aplicacin del teorema del medio del valor
que $q (0.1) para el
cual 
y f de adicin y que desfalcaY(x,y) obtiene 
.
Asumiendo fY continua y por lo tanto tambin uniforme contina ya que
se define en compacto elimina 
la obtencin 
15) si f y fY es continuas en [ a, b]x[c, d ] y a y b que son 2
que tienen funciones derivadas antes contina en [ c, d ] la funcin 
ha derivado 1 continuo
encendido [ c,d ] y
Integrabilit en sentido incorrecto
16-a) Criterio de la comparacin
Es f,g: [ a,b)® " con b"* , integrabili segn Riemann " W [ a,b), por otra parte sia 0 g(x) " x del f(x)[ x0, b) si g l es integrabile en sentido incorrecto adentro [ a, b) f es integrabile en sentido incorrecto.
f l es integrabile en sentido incorrecto si existe
terminado 
El 1 integral al segundo miembro existe terminado en cunto es integrabile la funcin segn Riemann " W [ a,b).
Del integral 2 uno deduce que el ser positivo de f, l es
un monotona de aumento de la funcin, por lo tanto admite que el
lmite y este lmite sern terminados en cunto si f g tambin 
y del resto 
en cunto g(x) es integrabile en sentido incorrecto.
16-b) Criterio de la comparacin
Es f,g: (a,b ]® " con a "* , el integrabili segn Riemann " W (a,b ], por otra parte sia 0 g(x) " x (a,x 0]del f(x) si g l es integrabile en sentido incorrecto adentro [ a, b) f es integrabile en sentido incorrecto.
17-a) Intervalo no limitado
Es f:[a )® "definitivo positivo para x® ed f "[ a,w) para el ogni W > a
a) si f l es infinitesimal de orden > 1 respecto a 1/x para x® f es integrabile en sentido incorrecto adentro [ a ).
b) si el respecto de f 1 a 1/x esinfinitesimal de la orden a para x® f no es integrabile en sentido incorrecto adentro [ a ).
17-b) Funcin no limitada
Es f:[a, b)® positivo de "b" definitivo para x®b - ed f "[ a,w) para el ogni W (a,b)
a) si f l es infinita de orden < 1 respecto a 1/(b-x) por x® b - f es integrabile en sentido incorrecto adentro [ a,b).
b) si respecto de f 1 a 1/(b-x) porx b - ® es infinito de orden a f no es integrabile en sentido incorrecto adentro [ a,b).
18) si f l se define en un intervalo y | f | l es integrabile en sentido incorrecto en la f es integrabile en sentido incorrecto y 
Para demostrar esa f l es integrabile en sentido incorrecto bastante de aplicar el teorema de usar de la comparacin |f| para establecer esa tambin f y f - son integrabili en sentido incorrecto y por lo tanto tambin f que es f = f - f - .
Para el frmula en lugar de otro se tiene: 
Donde se ha utilizado:
a) f = f - f -.
b) la desigualdad triangular.
c) f y f- son positivas que las funciones, por lo tanto tambin sus integrales, y por lo tanto los mdulos son intiles.
d) | f | = f f -.