Teoremas en las funciones de la variable 2 unas
Funciones de la variable 2 unas
1) si f l es differenziabile en xX con abierto (que sea si existe "n tales que o(del f(x h) = del f(x) < a, h >||h||) para h®0)
a) f es continua en x
b) existe los derivados parciales de f en x y puede ser escrito: f(x h) = o(del f(x)<f(x) del `, h >||h||) para h®0
c) existe el f(x) direccional de los derivadosDv para cada pagador y vale el f(x) del frmulaDv = el <f(x)del `, v >
a) De la definicin del differenziabilit que inserta los mdulos se dibuja |f(x h) - f(x)| = |o(de < a,h >||h||)| para h®0. Aplicacin a la desigualdad de Cauchy-Schwarz (que es |< a,h >| ||a|| * ||b|| ) a 2 el miembro se obtiene |o(de < a,h >||h||)| ||a||*||h|| ® 0 para h®0, por lo tanto f es el ser continuo |f(x h) - f(x)| < y.
b) En la definicin K a hdel differenziabilit est el t*e substituido y se obtiene el t*e K y Kque(f(x)-f(x))/t = <,> el aprovecharse hizo eso ||yK|| = 1 que es la base cannica constituida de pagadores por lo tanto el derivado en la direccin xK del cannico bajo es igual al k-esimo del miembro de a y por lo tanto puede ser colocado a = f(x)del `.
c) En differenziabilit la definicin es t*v substituido a h y se obtiene que (f(x t*v)-f(x))/t = < a, v > que se aprovecha del hecho eso ||v|| = 1 que es v al pagador. Por lo tanto el derivado direccional a lo largo de uno cualquier direccin v es igual a la subida producida entre el gradiente del f(x) y el portador v.
2) f es una funcin derivabile en xX abierto
f(x h) = o(del f(x)<f(x) del `, h >||h||) para h®0 > f l es differenziabile en x
el derivabilit de f en x concurre substituir el f(x)del ` en el f(x h) = el o(del f(x) < a,h >||h||) para h®0 y nosotros encuentre otra vez la definicin del differenziabilit en x.
El differenziabilit implica la validez del f(x h) = de o(del f(x)<f(x) del `, h >||h||) como descrito del 101-b)
3) teorema del medio del valor para funciones ms variables:
Descripcin: Si f l es una funcin continua en un segmento [ x,y ] X entonces:
a) Si v = (y-x)/ ||y-x|| l es un pagador de este segmento y existe el derivado direccional a lo largo de v para cada punto que pertenece al segmento existe q0 abarcado entre 0 y 1 tal uno eso
f(y) - f(x) =)xde D vf((1-q0 q0y) * || y-x ||.
b) Si por otra parte existe f que l es differenziabile en cada punto del segmento un q0 tales que
f(y) - f(x) = < )xdel `f((1-q0 q0y), y-x >.
a) llenador para aplicar el teorema a nosotros del medio del valor a lo largo de la direccin v con la funcin jv(t): = el quale del f(x TV) la coincidencia de repartir una funcin de la variable 2 tiene gusto de una funcin de una variable. de l se observa eso:
j(t0) = f(xde D v t0v), j(0) = f(x), j(||y-x||) = f(y)
por lo tanto aplicando el teorema del valor el unidimensionale medio encuentra que existe t0 para el cual
f(y) - f(x) = j(||y-x||) - j(0) = jv' (t0) * ||y-x|| = f(xde D v t0v) * ||y-x||
y poniendo q0 = t0 / || y-x || obtiene declarado del teorema.
b) De la pieza del teorema sabemos el f(y) del che - f(x) =)xde D vf((1-q0 q0y) * || y-x || mientras que del differenziabilit alcanza que vale el f(x) del frmulaDv = el < f(x)del `, v >, substituyendo es che tenido:
f(y) - f(x) = < )xdel `f((1-q0 q0y), v > * || y-x ||
y siendo v = (y-x)/ ||y-x|| de l alcanza el teorema.
4) el teorema de los distingue totales:
Descripcin: Si un U de x existe alrededor en qu f es derivabile(esistono todos los derivados parciales en x) y si el parcial derivado es continuo en el punto x f l es differenziabile en x.
Debemos intentar ese f(x) que l es differenziabile, de
que somos se y el f(x h) = o(del f(x)<f(x) del `, h >||h||) para h®0 o anlogo la funcin 0 ampliada 
puede® ser demostrada que o para
® 0
Tal puntera los primeros 2 trminos del numerador y con el teorema medio del valor para las funciones ms variables se llevan a vendedor menor largo las direcciones de los pagadores de la base cannica, nosotros llenador a tener fx1 y fx2 de poder recoger.
f(x1 h1 , x2 h2) - f(x1 , x2) = [ f(x1 h1 , x2 h2) - f(x1 , x2 h2) ] [ f(x1 , x2 h2) - f(x1 , x2) ]
y aplicando el teorema del medio del valor adelante y1 y y2 a los trminos contenidos en el ciascuna de los 2 cuadrantes, uno obtiene eso:
f(x1 h1 , x2 h2) - f(x1 , x2) = fx1(x1 q1h1 )h1 fx2(x 1q1 h1 ,x2h de x 2h 22)h1
cul substituido en la definicin de Q y de h 1y de h 2el recoger da detrs:
y siendo los trminos 
y 
mayor de 1 y para la hiptesis del teorema continuo
ambos los derivados parciales entonces no tendrn que cuando h®0, Q(h1,h2)®0 y por lo tanto el teorema se demuestra.
5) si f l es 2 veces differenziabile en xX con el nX abiertode f X m (x) = fx MX n (x) "m, n = 1..., n
6) si f l es tiempos de m differenziabile en xX con abierto y el dx es tal que segmento [ dx ] de x X entonces
a) Vige el frmula del sastre con el resto
de Peano 
para el dx®0
e 
es el nico un polinomio
del grado m que la verificacin.
b) Si por otra parte f l es m 1 que entonces existen los tiempos differenziabile adentro (dx de x) q0 tales que:
a) En cortocircuito debe ser verificado que 
o equivalente eso 
.
Recordar que el polinomio del sastre l es tal que fK(x0) = TnK(x0) sigue que el h(x0) = 0 y el teorema del valor pueden ser medio aplicado:
dx)-h(x) del dx)=h(x del h(x = h(c)de Dv||dx|| = <f(c)del
`, dx > = 
y recordando la desigualdad
triangular 
se tiene
|dx del h(x)| = 
debe por lo tanto ser demostrado
solamente que 
eso l obtiene para la induccin
del mismo teorema, en hecho que se tiene:
p0 ® el teorema es verdad para m=1 en cunto encuentra otra vez la definicin del differenziabilit
p1 ® supone el teorema vlido hasta a m-1, por lo tanto aplicndolo a hXI se tiene:
hXI (dx de x) = hXI (x) 
para
el dx ® 0
en el hecho hel XI es tiempos del differenziabili m-1 y tiene los derivados de la orden nula m en x0 , se tiene por lo tanto
hXI(dx de x) = o(||dx||m-1) hXI(dx de xq) = o(||dxde q||m-1).
Substituir este resultado en [ 1 ] el teorema se demuestra, en hecho que se tiene:
dx del h(x) =
= 
El oneness del polinomio del sastre se demuestra que considera el dx de P(x) del grado tal m eso
dx del f(x) = o(del dx de P(x)||dx||m) para el dx®0, del resto es tambin dx del f(x) = o(de Tm (dx de x)||dx||m), uguagliando se tiene:
Dx) de P(x - Tm(dx de x) = o(||dx||m y puesto que ambos polinomi de i estn del grado m alcanza alguno que o(||dx||m no est en una posicin a no absorber ningn trmino de mismo y por lo tanto del dx de P(x) = Tm(dx de x).
b) el frmula del sastre con el resto de Lagrange se demuestra de la manera equivalente que trae detrs s mismo al unidimensionale del caso donde poder aplicar el frmula ya famoso, en detalle que el (t) es j usadov = el f(x TV) a cul es aplicable el resto de unidimensionale Lagrange, porque se tienen sus derivados l:
jvk (t) = f(xTVde D k vv ... v) si 0 < t < ||dx|| jvm 1 (t) = f(xTV de Dm 1 vv ... v) si 0 < t < ||dx||
aplicacin por lo tanto del teorema del unidimensionale Lagrange:
jv(||dx||) = jv(0) 
y puesto que los distingue el df(x) introduce en el f(x) de la formadK = la f K(x) (dx)K y substituir el teorema que se demuestra.
7) si el cuerpo de f encendido con a la funcin convexa y abierta es una
a) f es continua adentro a y admite las derechas izquierdas parciales derivadas y adentro a.
b) si f l es derivabile en un punto x a f l es tambin differenziabile en x.
8) si la funcin differenziabile de f en x esunacon a convexo y abierta
a) si f l es el f(x convexo 0)< f(x0del f(x)del `), xx0> cada para xa
b) si f l es de cerca f(x) > el f(x convexos0) <f(x0del `), xx0> cada para xa, x x0 .
El resultado obtenido para las funciones convexas en un f(x variable 0 ) f ()(x-x 0 del f(x)de x0)conla funcin se aplica
jv(t) = f(x TV) que es jv(0) = f(x0), jv(||xx0||) = f(x) y jv'(x0) = f(x)demostradode D v y el tener que para una funcin differenziabile
D ves f(x)tenido = < f(x)del `, v > que elige t = || x - x0 || , 
y substituyendo, se
demuestra el teorema.
9) si la funcin differenziabile de f en cada punto x es uno de con a, convexo y abierto
a) f es convexa > el f(x 0)< f(x0del f(x)del `), xx0> cada para x0a.
b) f es de cerca cuerpo > f(x) > el f(x0) <f(x0del `), xx0> cada para x0a.
10) si la funcin differenziabile de f es una 2 veces en cada punto x de con a, convexo y abierto
a) f es convexa en A > f(x)de d2 = < Hf (x)dx, dx > 0 para cada dx "n .
b) f es de cerca cuerpo adentro a si para cada xa est < H tenidof (x)dx, dx > > 0 para cada dx "n y el dx 0.
Usando el frmula del sastre con el resto de Lagrange 
que substituye para m = 1si tiene que existe
un q (0.1) tal que 
ese 0 en 
cunto se tiene el scrivere de la lata
tambin que es la funcin convexa que el f(x 0)< f(x0del f(x)del
`), xx0>.
11) si la funcin differenziabile de f es una 2 veces en cada punto x de con a, convexo y abierto
a) f es convexa en A > Hf (x) es semidefined el positiva cada para x a.
b) f es de cerca cuerpo en A > Hf (x) es positiva definido cada para x a.
12) si f l es differenziabile en xa abierto y x que se pica del extremo local para f x es un punto crtico que es f(x)del ` = 0
los lugares pero la atencin al hecho de que un punto crtico no es necesariamente un extremo local, o si f no es differenziabile en x0 , x0 pueden ser punto final o no.
13) si f l est con el cuerpo y x es un punto crtico de f entonces:
a) Si uno alrededor de x existe en qu f es convexo x se pica del mnimo de f.
b) Si uno alrededor de x existe en qu f es el concava x se pica del mximo de f.
Por otra parte si f l es 2 veces differenziabile en x entonces:
c) Si se defineH f (x) x positivo es un punto del mnimo fuertemente de f.
d) Si se defineH f (x) x negativo es un punto del mximo fuertemente de f.
y) si no esH f (x) semidefined el positivo semidefined un cierto x negativo es un punto de la ensillada de f.
f) Si esH f (x) semidefined o positivo semidefined x negativo est de ensillada o mximo o mnimo para f.
a) f differenziabile y cuerpo implica que la funcin todo encima al plan de la tangente en x y por lo tanto stos no pueden eso ser un punto mnimo.
b) f differenziabile y cncava implica que la funcin es toda debajo al plan de la tangente en x y por lo tanto stos no pueden eso ser un punto mximo.
c) la PU a aplicarse al teorema de la cuenta 
que el punto crtico en x implica que el gradiente es nulo
y por lo tanto tambin los distingue, df(x) de la tenencia de Peano =
<f(x)del `, dx > = 0,
el frmula se convierte 
y la consideracin de eso
si la matriz de Hessiana es positivo definido entonces que el
autovalore ms pequeo es positivo que puede f(x) del minorare y a
la opinin 
y por lo tanto para el dx®0 que est adentro alrededor de un mucho pequeo de x se
tiene que la funcin asume mayores valores que no en x que por lo
tanto es un punto del mnimo.
d) se demuestra al punto c anlogo).
y) en cada alrededor de x se tiene que esH f semidefined el positivo para algunos portadores y semidefined la negativa para otros portadores de la cual estn en orden a la opinin no estn mejor semidefined el positivo semidefined una cierta negativa por lo tanto estn los valores para los cuales los distingue es positivo y valora para cul lo distingue es negativo y por lo tanto seala en cul es mayor la funcin l que no en x y los puntos en los cuales la funcin ella sea de menor importancia quin en x por lo tanto x no est un punto de la ensillada.
f) se demuestra con un ejemplo prctico, sa es 3 funciones (x se toma14 x2 4), (x14 - x2 4) y - (x14 x2 4) teniendo todos y tres la misma matriz del hessiana constituida del 0 y del mismo punto crtico (se demuestra 0,0) y que para el 1 es un punto mnimo, porque los 2 son un punto de la ensillada mientras que para los 3 es un mnimo seale.