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Theoreme auf den Reihenfolgen und der Reihe von Funktionen Reihenfolgen von Funktionen 1) Kriterium der punctual Konvergenz : Notwendiger und genügender Zustand, weil die Reihenfolge von funzioni fn punctually innen zu zusammenläuft, ist, daß, geregelt und > 0, " t?Zu N(undzu,t) besteht so das : |fn(T) - fm(T)| < und " n, m > N.
2) Kriterium der gleichmäßigen Konvergenz : Notwendiger und genügender Zustand, weil die Reihenfolge von funzioni fn Uniform innen zu zusammenläuft, ist, der, geregelt und > 0, N(und)so besteht, daß : |fn(T) - fm(T)| < und " t?Ein " n, m > N.
3) ist die Begrenzung auf eine Reihenfolge der begrenzten Funktionenf n konvergenten Uniform eine begrenzte Funktion: Zerteilen Sie von der Definition der gleichmäßigen Konvergenz |fn(T) - fm(T)| < und wenn n, m > N nachdem es n zum ¥ geschickt wird und m = N setzt. Zu diesem Punkt kann die dreieckige Verschiedenheit verwenden und schreiben |f(t)| - |fN(T)| < |f(t) - fN(T)| < und setzendes und = 1 ha |f(t)| < 1 |fN(T)| und folglich das sup von |f| es ist vom sup von begrenzt |fN|
4) Theorem des Austausches der Begrenzungen Er ist Ich zeige vorher, daß die Reihenfolge Ln rechts vom gleichen konvergent ist, wir finde, daß seine Begrenzung L ist und die gleiche Begrenzung auch für 1° das Mitglied gehabt wird. Die Konvergenz wird unten gründete auf dem Kriterium der gleichmäßigen Konvergenz, tatsächlich es wird gehabt vereinbart |Ln - Lm| = |L n-fn(T) fn(T) - fm(T) fm(T) - Lm| £ |L n-fn(T)| |fn(T) - fm(T)| |fm(T) - Lm| < und
seiend das kleinere externe Modul und die Module
5) wenn die Reihenfolge stetiger Dauerfunktionen fn konstantes zusammenläuft, ist seine Begrenzung f eine stetige Dauerfunktion. Es wird das Theorem des Austausches der Begrenzungen an
der Funktion anwendend demonstriert
6) Theorem des Austausches der Begrenzung mit der Ableitung : Eins ist gehabte Reihenfolge von Funktionen fn :® " zum derivabili und ) die Reihenfolge der Ableitungen {fn'} läuft es Uniform innen (a,b) mit Begrenzung g zusammen B), läuft die Reihenfolge der Funktionen {fn} mindestens in einem Punkt t0 zusammen? (a,b)
auch die Reihenfolge fn läuft Uniform innen (a,b)
zusammen und es wird gehabt ) muß es demonstriert werden, daß {fn} es Uniform zusammenläuft, das ist
wird respektiert der notwendige und genügende Zustand der Konvergenz |fn(T) - fm(T)| < und an
solchem Ziel wird das Theorem von Lagrange angewendet B) Wir nehmen an, daß {fn(T)} es Uniform zum f(t) Monster, daß f derivabile
ist, wird gehabt zusammenläuft :
7) Theorem des Austausches der Begrenzung mit dem Integral : Eins ist die gehabte konstante Reihenfolgef n der integrabili begrenzten Funktionen auf dem Abstand [ a,b ], konvergent mit Begrenzung f
Reihe Funktionen 8) Kriterium der punctual Konvergenz von Cauchy : Notwendiger und genügender Zustand, weil die Reihe von Funktionen Sxn(T) punctually innen zu zusammenläuft, ist der, geregelt und > 0, " t?Zu N(undzu,t) besteht so das : |xp(T) xp 1(T)... xp q(T)| < und wenn n, m > N.
9) Kriterium der gleichmäßigen Konvergenz : Notwendiger und genügender Zustand, weil die Reihe von Funktionen Sxn(T) Uniform innen zu zusammenläuft, ist, der, geregelt und > 0, N(und)so besteht, daß : |xp(T) xp 1(T)... xp q(T)| < und " t?Wenn n, m > N.
10) Kriterium von Weierstrass : Zur Reihenfolge von Funktionen x nund eine konvergente Reihe gegeben von positiven Konstanten Scn und endgültig wird es gehabt |xn(T)| £ cn die Reihe von Funktionen Sxn(T) läuft Uniform innen zu zusammen. Es wird in der Tugend der dreieckigen Verschiedenheit und des Kriteriums der Konvergenz von Cauchy demonstriert, von der es ableitet |xp(T) xp 1(T)... xp q(T)| < |xp(T)| |xp 1(T)| ... |xp q(T)| < cp cp 1 ... cp q < und
11) Theorem der Konvergenzgesamtmenge : Wenn {xn} führen normato und) durch dessen Reihe der S Normen eine Reihenfolge zu den Werten in einem Raum von Banach ist (||xn || es ist konvergentes zusammenläuft auch die Reihe Sxn. Die Demonstration verfolgt bereits gewann, wieviel für die absolute Konvergenz der numerischen Reihe, analogen ausnutzenden des Kriteriums der punctual Konvergenz von Cauchy und der dreieckigen Verschiedenheit. Das Theorem ist von der Konvergenzgesamtmenge besagt in, wieviel eine Reihe, für die die Reihe der Normen zusammenläuft, besagtes total konvergentes ist.
12) Theorem der Begrenzung auf eine Reihe : Wenn Sfn(T) eine konstante konvergente Reihe
Funktionen mit F(t) summieren ist und besteht die die S ReiheLn läuft und ha zusammen
13) ist die Summe einer konstanten konvergenten Reihe stetiger Dauerfunktionen eine stetige Dauerfunktion. Der Durchgang der Summe der Reihe muß demonstriert werden, die wir uns erinnern, der Summe des Rest n-esimo und des teilweisen Summe n-esima gleich zu sein, in der Erwägung die Stufensprung h die zwei folgenden Gleichheiten hat :
Wo für 1ª die Quadrantsumme der stetigenDauerfunktionenausgenutzt wird, ist dieses S n (X) und folglich fährt es fort, während für 2ª und 3ª der Quadrant der Rest Nutzen aus dem gezogen wird, den die Reihe konstantes konvergentes folglich n-esimo kann klein übertragen werden ist, wieviel vuo.
14) Theorem des Integrals von einer Reihe: Eine Reihenfolge f n der integrabili begrenzten
Funktionen wird auf dem Abstand [ a,b ] gehabt, wenn die Reihe Sfn(T) Uniform innen (a,b) mit Summe F(t)
F ist integrierbar und wird gehabt zusammenläuft An es wird erinnert, daß die Summe einer S Reihe
dem teilweisen Summe n-esima S n (X)mehrdas Rest n-esimo R n
(X)gleichist und zu den
Modulen integriert und überschreitet, die es gehabt
wird : aus wo die gleichmäßige Konvergenz der Reihe Nutzen gezogen worden ist. Folglich wird das Theorem demonstriert.
15) Theorem der Ableitung von einer Reihe: Eins ist gehabte Reihenfolge fn der derivabili Funktionen und ) die Reihe der S Ableitungenfn' es läuft Uniform innen (a,b) mit G(t) Summe zusammen B), läuft die Reihe von funzioni dasSf n mindestens in einem Punkt t0 zusammen? (a,b) auch die S Reihefn läuft Uniform innen (a,b)
zusammen und es wird gehabt S f n'ist g(x) = seiend konstantes konvergentes für das vorhergehende Theorem kann integrierte Bezeichnung a.termine sein
Reihe Energien 16) wenn eine Reihe der Energien läuft absolut in jedem solchen Punkt das zusammen |z| < |z0| Es wird für Vergleich mit der geometrischen
Reihe hat tatsächlich erreicht,
17) Kriterium der Wurzel zwecks den Konvergenzlichtstrahl feststellen : Der Reihe den
18) Kriterium des Verhältnisses zwecks den Konvergenzlichtstrahl feststellen : Die Reihe gegeben,
19) Eigenschaft der Summe von einer Reihe Energien : ) die Reihe läuft sie Uniform in jedem Kreis zusammen: |z| £ r ' mit r ' < r B) ist die Summe der Reihe eine stetige Dauerfunktion innen |z| < r c) ist die Reihe der Ableitungen noch eine Reihe Energien, die den gleichen Lichtstrahl der Konvergenz hat d) ist die Summe der Reihe in der komplizierten Richtung mit ununterbrochener Ableitung innen derivabile |z| < r ; seine Ableitung ist der Summe der Reihe der Ableitungen gleich A) zeigt mittels des Theorems von Weierstrass, tatsächlich, welches die Reihe absolut für z = r zusammenläuft ', das es zum Konvergenzlichtstrahl inner ist und aufgestellt auf der realen Mittellinie folglich wir eine Reihe positive Konstanten S bis nr'dieses es gefunden haben, läuft und dieses maggiora unsere S Reihezunzn zusammen, das folglich absolut zusammenläuft. B) Daran erinnernd, daß das Summe f(z) einer konstanten konvergenten Reihe stetiger Dauerfunktionen ununterbrochen ist und datieren Sie die gleichmäßige Konvergenz von Szunzn, sobald demonstriert und die Willkür des Punktes r ', das Theorem demonstriert ausfällt. c) wird gehabt, d) genügendes E ', zum von von f xund von von f yzu schreiben und zu überprüfen, daß sie die Relationen von Cauchy - Riemann erfüllen.
20) andere Eigenschaft der Summe von einer Reihe Energien : ) die Summe der Reihe von Energien ist sie Kategorie Cvom ¥ innen |z| < r B) ist das abgeleitete k-esima der Summe der Reihe der Summe der Reihe des Ableitungen k-esime gleich. c) Zwischen den Koeffizienten der Reihe
und den sussiste Ableitungen des Summe f(z) die Relation A) Segue von der Tatsache, daß die Reihe der Ableitungen noch eine Reihe Energien mit dem gleichen Lichtstrahl der Konvergenz ist. B) E ' genau der Punkt d) von Theorem 19) c) wird in der praktischen Weise erreicht, welche die Summe der Reihe ableitet
21) Theorem von Abel : Wenn eine Reihe S Energienzunzn in einem der extremen Punkte seines Konvergenzabstands zusammenläuft der Konvergenzabstand schließt auch diesen Punkt ein. Die gleichmäßige Konvergenz wird gehabt, wenn
demonstriert wird, der das Rest n-esimo von kleiner istund Sein 22) notwendiger Zustand für das sviluppabilità in der Reihe des Schneiders von einer Funktion f: Es ist f ? C¥ (- r, r) und ein konstantes M,
Unabhängiges besteht von n und von x ist so, daß gehabt
wird, Die Bedingung im Rest n-esimo Erreichen |