Theoreme der Vectorial Analyse

1) erstes Kriterium von integrabilità des 1_forme :

Wenn W es auf einem verbundenen geöffneten D von "³ dannununterbrochen ist

W ist esatta > genommen zu, b, das zu D betrifft, wird gehabt, das mit g₁ , g₂ ? camm(a, B).

ž für Definition des Integrals von 1_forma hat Del rest wenn W, das sie besteht eine Funktion verbessert sie U genau ist, wird primitiva von W ossia F =` U =U _xU _yU _z folglich gehabt und folglich betrachtet es das das Integralwert della nicht bedecktes Dal abhängt, aber Dal Punkt fängt nur sie und Dal Endrunde Punkt an.

? Sappiamo, das von der Weise unabhängig ist, aber vom Punkt fängt sie nur an und von diesem Ende folglich ist es = U(b)-U(a), versuchen wir, daß der abgeleitete Respekt zu x F ₁ gleichist , in der analogen Weise für U_y und U_z und folglich W ist genau. Werden folglich beschlossen, sich von D xbis parametrizzazione x(t) = x t Dxy(t) = y z(t) = z mit t zu verschieben?[ 0.1 ] für das Theorem des Durchschnittes für Integrale wird, die der gleiche Wert in einem Zwischenpunkt = angenommen wird, wird gehabt nach allem das gehabt und folglich, überschreiten zur Begrenzung für Dx®0, wird es daß U _x= F ₁gehabt_.

 

2) Corollario von 1° das Kriterium von integrabilità des 1_forme:

Wenn W es auf einem verbundenen geöffneten D von "³ dannununterbrochen ist

W Unterstützung in D ist > für jedes Haben des Stromkreises wird gehabt genau

ž W ist folglich abhängt nicht von der Weise genau, aber sie geben nur zu und b folglich, wenn wir einen geschlossenen und nehmen auf Stromkreis ihm kennzeichnen wir 2 Punkte zu und b, das wir che entlang einer Seite des Stromkreises haben, ist gleich, aber vom gegenüberliegenden Zeichen zu und folglich ist ihre Summe ungültig.

? Wenn das ganzes circuitazioni ungültig sind, findet das, einen Zyklus in 2 Stromkreisen g ₁und g ₂zu unterteilen , ist das Integral entlangg ₁dem Integral entlang g ₂gleich und folglich für 1° das Kriterium von integrabilità des 1_forme, W ist es genau.

 

 3) entsprechend Kriterium von integrabilità des 1_forme:

Wenn W er auf einer einfach verbundenen Ganzheit dann derivabile ist

W, das es esatta > W ist, ist Schleuse

ž Dimostro für n = 2, analog für n > 2.

Wenn W es dann für Definition genau ist, besteht eine Funktion Aufsteigen sie solches U, dem U_x = F₁ und U_y = ₂F 1ª ableitend der Respekt zu y und zu 2ª der Respekt zu x F _1y= F _2xerreicht, das die Bedingung gerecht ist, damit W es Schleuse ist.

?   die Demonstration besteht im Wesentlichen in der Berechnung des Aufsteigens sie mittels der üblichen Formel. Es wird dem beobachtet :

)    U betreffend ist z F ₃ ableitend(x wird, y, z) erhalten

B),    ableitend betreffend y und mit che F ₂(x wird, y, z) erhalten

c),    ableitend betreffend x und mit dem und che ottiene F₁(x, y, z)

nach allen folglich ist F = ` U gehabtesche, das die Definition di genaues wist.

 

4) Theorem von Gauss - grünen Sie im Plan :

)    wenn D eine Herrschaft von " ²mit < x < b e J ₁(X)< y < J ₂(X)mit J ₁(X)ist, wirdJ₂ (X) regelmäßig manchmal, gehabt :

B) Wenn D eine Herrschaft von " ²mit c < y < d e y ₁(X)< x < y ₂(X)mit y ₁(X)ist, wirdy₂ (X) regelmäßig manchmal, gehabt :

Ich demonstriere zu), in der analogen Weise kann demonstriert werden dem B).

Für 1° wird das Mitglied, das Nutzen aus der Formel der Verkleinerung für doppelte Integrale auf einfachem Herrschaftrespekt zu einer Mittellinie zieht, gehabt :

Für 2° wird das Mitglied anstatt das circuitazione geschätzt, das in den geradlinigen Eigenschaften dx=0 und folglich auch im Integral beobachtend :

und folglich sind die 2 Integrale weniger vom Zeichen gleich.

 

5) Corollario des Theorems des Gauss-Grüns im Plan:

Wenn D eine Herrschaft begrenzt in " ² ist deren Grenze eine Kurve von regelmäßigem Jordanien manchmal ist und das ist sie respektiert zu beiden Assen einfach. Wenn f = PU Qj ž die Formel wertIST .

Ein wird vom Theorem der grünen unterschlagenden Formel des Gauss vom anderen Mitglied zum Mitglied erreicht.

 

6) Demonstration mittels des Gauss-Grüns von 1° das Kriterium von integrabilità des 1_forme:

Sie sind g₁ und g₂ zwei abgrenzend kurvt eine D. Ganzheit, wenn F(x, y) ein derivabile ist und irrotational vectorial auffangen (Fäule F = 0), das P _x= Q _yin D ist. ž .

Für die Gleichheit des Theorems des Gauss-Grüns wird es gehabt, daß = 0 seiend Q_x = P_y des Restes, den die Grenze der Ganzheit von g ₁ festgesetztwird, in der nach linksrichtung bedeckte und g₂ in der Stunde Richtung bedeckte in, wieviel innerem zu g_{die 1} pertanto Gleichheit überprüft wird.

 

7) schürt Theorem von im Raum :

Wenn S eine enthaltene regelmäßige Oberfläche zu den Stücken in einem geöffneten zu ist ? "³ und F = frommes Qj Rk derivabile vectorial fangen ž auf

Es ist r(u, V) = x(u, v)i y(u, v)j z(u, v)k eins parametrizzazione des Oberflächen ž

Anstatt verlassend vom circuitazione, wird geschrieben, während der Korrespondent 1_forma folglich für semplicità das Solo betrachtet, ist,schreibt es für umfangreiches und wendet am Theorem des Gauss-Grüns uns Füller an einem doppelten semplificabile Integral für Mittel des Theorems auf den Mischableitungen von Schwarz an, das selbst Stunde ein bestandene Funktion ist, ist seine Ableitungen und ersetzend, die Produkte entwickelnd und einfacher werden, wird erreicht, in denen die Bezeichnungen zwischen Klammern deteminanti jacobiani sind.

In der gleichen Weise für die anderen der Mitglieder auch laufen lassen und das Addieren der These wird erreicht.

 

8)    Theorem von Ostrogradsky:

Es ist D ? "³ eine begrenzte Herrschaft deren Grenze ein Oberflächenschleuse-, regelmäßiges und justierbares ist :

Wenn D einfacher Respekt bis eins der Asse ist,IST es eins des Folgens wert:

Wenn die Herrschaft betreffend alle einfach ist und die drei Asse, die dann Mitglied Mitglied hinzufügen, werden gehabt :

Ich demonstriere nur an dritter Stelle im Fall von einer einfachen Herrschaft betreffend ist die Mittellinie z :

Verlassend vom dreifachen Integral, kann es für über das semplicità der Herrschaft, hat selbst zerlegt werden :

Stunde anstatt von 2° das Mitglied lassend, wird es zum gleichen Resultat angekommen, muß Konto tatsächlich gehalten werden, das die Grenze der Herrschaft von einer vorgerückten Kappe, eine minderwertige Kappe festgesetzt wird und eine Seitenwand, die zur Mittellinie z parallel ist, auf der das Integral ungültig ist in, wieviel ein Fluß und die normale Fördermaschine zur Oberfläche ist zur Fördermaschine k orthogonal ist.

Das Durchführen einer Änderung von parametrizzazione und das Beobachten, daß die vorgerückte Oberfläche positiv orientiert wird, während dieses Untergebene negativ von ihr orientiert wird, folgt, daß das gleiche erreichte Resultat gefunden wird, vom dreifachen Integral zu verlassen.

das jacobiani in der gleichen Ausgabe bis 1 sein.

 

 

9)    Theorem der Abweichung im Raum:

Es ist D ? "³ eine begrenzte Herrschaft deren Grenze eine Oberflächenschleuse ist, sind regelmäßiges und justierbares außerdem D ein die einfache Herrschaft betreffend ist alle und die 3 kartesischen Asse, F = frommes Qj Rk ist dann auffangen Kategorie C ¹ ž vectorial

Es ist erreichtes Hinzufügen ausfällt zu Ihnen enthielt im Theorem von Ostrogradsky.

 

10) wenn F = zu Bj Ck von Kategorie C ²(T)ist, T ? "superficialally verbundenes geöffnetes ž ³

F ist ein Rotor > ein F ist solenoidale

ž   F ist ein Rotor, der besteht Aufsteigen sie solche U Fördermaschine ist, die rotU = F folglich Div. F = Div. Fäule U = 0 und folglich F solenoidale ist in, wieviel ungültige Abweichung hat.

? Um daß F ein Rotor von ihm versuchen uns ist zu demonstrieren Aufsteigen sie Fördermaschine U = yj XI zk, es müssen es sind so daß

rotU = F ossia , zwecks einfacher zu werden ist versuchtes Aufsteigen es Fördermaschine mit dem dritten Nullmitglied, das U = XI yj 0k ist, folglich, welches das vereinfachte System die Muß- Stunde ist, zum auszuarbeitn die ersten 2 und es im 3ª zu ersetzen, sie betreffend z integrierend hat

für semplicità nehmen wir J(x,t) = 0 an. Ableiten von, welchem ersetzend es gehabt wird : und Nutzen aus der Hypothese von Abweichung nulla C folglich ziehend,hat _z = -zu _x -B _y, das ist und integrierenrespekt zu y wird es gehabt : das Annehmen zu(X) = 0 und das Ersetzen in den ersten Gleichungen erreicht die These.

 

 

11) Theorem des Aufsteigens sie Fördermaschine :

Wenn zu ihr ein einfach verbundenes geöffnetes von " ³ist und V sind auffangen derivabile solenoidale vectorial (Div. F = 0)

ž   Esiste vectorial fangen solche F che Fäule F = V innen zu jedem Inoltre anderes Aufsteigen, das sie auf, wird Fördermaschine von der Form gegeben

F AbsolventJ wo J ? C²(a) ist eins, zum zu klettern.

Das F schriftlich die Fäule, die das Mitglied entlang Mittellinie I, von der Gleichung vettoriale Fäule betrachtend F = V ungültig ist, erhält drei scalari Gleichungen, erfüllt in Integralen ausgedrückt, müssen sie zu diesem Punkt, die Konstanten nur kennzeichnen, die von der Integration strömen, was das mögliches Ersetzen in und Ausnutzen der Tatsache dem sind

Div. F = 0 ist erhaltenes Aufsteigen sie Fördermaschine F = F₂J F₃k wo e

 

 

12) fängt Eigenschaft des solenoidali auf:

Die oberflächliche werden 2 gehabt, daß sie Grenze von einem begrenztem sich öffnen und sind D die Herrschaft sind, die von der Lücke zwischen zwei oberflächlichen festgesetzt wird, wohl, wenn in dieser Herrschaft, welche die Abweichung von vectorial F auffangen, 0 ž ist durchfließen eins von den oberflächlichen durchfließen das andere gleich ist.

 

13) Theorem von Gauss :

Eine Oberfläche ist S Schleuse und ist r die Fördermaschineposition, die den Abstand von kennzeichnet, welcher Punkt (x, y, z) von Ursprung 0. Ist dann :

)    0, wenn der Ursprung zur Oberflächenschleuse extern ist

B)    4p, wenn der Ursprung zur Oberflächenschleuse inner ist.

) ist die Abweichung vonr/r ³ ein Resultat ungültiger zweiter Klassiker, folglich ist dieser Fluß auch ungültig.

B)    ist die Abweichung auch dieses mal aber zum Pakt, ein sferetta des Infinitesimallichtstrahls zu beseitigen ungültig dessen Oberfläche das parimenti geht, das für die Berechnung des Flusses betrachtet wird.

 

14) geometrische Deutung des Theorems von Gauss :

Es ist dS ein Oberflächenelement und wir kombinieren alle Punkte der Form von dS mit dem Ursprung oder von Kommen in solch eine Weise, einen Kegel zu bilden. Der Durchschnitt zwischeneinem Mittel bereich ist Stunde d W, oder und Lichtstrahl r und das vorhergehende Kegel ž der feste Winkel dW wird vom Verhältnis zwischen diesem Bereich gekennzeichnet und dem Quadrat des Abstandes vom Ursprung der feste Winkel folglich ist sein .

Kurz gesagt, wenn die Quelle zur Oberflächenschleuse dann zu jedem positiven Beitrag extern ist, wenn der Fluß in die Oberfläche hereinkommt, entspricht ein Beitrag Negativ, wenn der Fluß einiges herausnimmt. Wenn anstatt die Quelle es dann inner ist, werden die 2 Beiträge addiert und die feste Winkelgesamtmenge ist dem Bereich des einheitlichen Bereichs gleich, der 4 pist.

 

15) bedeutet von der Abweichung :

Die Abweichung von vectorial fangen F im P Punkt wird gegeben vom Wesen DV das Volumen auf, das von der Oberfläche dS, solches Volumen zur Begrenzung umgeben wird, wird verringert auf dem P Punkt.

Sie wird erreicht, um vom Theorem der Abweichung zu gehen, die dem Theorem des Durchschnittes für Integrale zugetroffen wird und zu 1° das Mitglied folglich lokalisierend, erreicht die Abweichung, die Begrenzung dann bildend die These deren Physiker bedeutete, den, es der Fluß offenbar durch die Oberfläche dS ist, die das F auffangen mußte, wenn solcher Fluß positiv ist, möchte sagen, daß es eine innere Quelle gibt, während, wenn der Fluß negativ ist, sagen möchte, daß die Quelle extern ist. Wenn die Abweichung 0 ist, bedeutet es, daß in der Region die nicht Quellen von den Lachen von sind und folglich auffangen solenoidale ist.

 

16) bedeutet vom Rotor :

Ein derivabile fangen F ist F auf: T® "³ und ist S_r ein Haben der Scheibe Mitte in P, in Lichtstrahl r und in der Richtlinie, die vom externen normalen Payer n gekennzeichnet wird. ž .

Ein erreicht, um vom Theorem von zu gehen schürt zugetroffen werden dem Theorem des Durchschnittes für Integrale und zu 1° das Mitglied folglich lokalisierend, erreicht das Produkt des Rotors für den normalen Payer zur Oberfläche, die Begrenzung dann bildend die These deren Physiker bedeutete, den, es ist, daß der Rotor die Richtung kennzeichnet, in der die oberflächliche Dichte von circuitazione von F in P maximal ist.