Theoreme auf den Sätzen

1) wenn es besteht, ist ein Maximum für mit dieses nur.

Es wird für Absurdität gefolgert, ist das man annimmt, daß m₁ und m₂ 2 Maxima ist und daran erinnert, daß ein Maximum nicht anderes ist, deren bildendes maggiorante Teil mit von erhöht ihm, einiges erzielt, daß ₁ istm , daß m₂ zusammen gehören muß und m ₁ maximalesž m ₂ folglichsein gleich m ₁ vorangeht oderist, analoges Sein m₂ Maximum ž m₁ geht voran, oder er ist m ₂,erzielt einiges gleich, daß die 2 nur koexistieren können wenn m₁ = m₂.

 

2) ist eine total bestellte Ganzheit X und ist zu  X, mit zu beendetem und nicht leerem ž zu ihm läßt Maximum und Minimum zu.

Es wird für semiinduction demonstriert:

* wenn ich ein einzelnes Element habe, dann, das es maximal und minimal ist.

* wenn ich 2 Elemente habe, dann, das ich vergleiche und ich Maximum und die Minute finde.

* wenn ich n Elemente habe, dann, das ich n-1 bilde, es konfrontiert und es Maximum und die Minute feststellt.

Dieses ist single zutreffend, wenn zu ihm beendet wird (das von einem n° von Elementen n festgesetzt wird, mit n ? ?) und die Einrichtung ist total.

3) Eigenschaft der Dichte auf Q:

Beschreibung: " x, y mit x < y $ infinites solche diese Elemente z x < z < y

Ein nimmt den Durchschnitt zwischen x und y und ein Punkt z ₁ wird gefunden, nachdem findet er Nehmen der Durchschnitt zwischen x undz ₁ und sie z₂ und folglich über.

 

4) Eigenschaft von Archimedes auf Q:

Beschreibung: " x, y > 0 $ n ? ? so daß nx ³ y

X = ist gesetzte p/q ED y = r/s zu diesem Punkt, genug zum zu wählen n = qr, zwecks dieses nx = Fotorezeptor ³ r/s zu bilden.

 

5) Eigenschaft der Gründlichkeit von " :

Beschreibung: ist zum  " , zu ¹ 0. Wenn auf es advancedly begrenzt wird(es läßt mindestens ein maggiorante) $ Sup zu dannzu? " (das die kleinsten $ des maggioranti ist). Analog, wenn auf es inferiorly (einminorante) $ Inf begrenzt wird (das am größten ist, läßt dann mindestens vom minoranti) zu.

 

6) Eigenschaft der Dichte auf " :

Beschreibung: " x, y mit x < y $ infinites Zahlen rationiert sie z so daß x < z < y und infinites irrazionali Elemente mit der gleichen Eigenschaft.

Die Eigenschaft von Archimedes stimmt wir überein, zum zu sagen, daß ein n besteht_oder ? ? so, daß die Abstand Punkte zwischen I x und y > 2*10 ^{- n0} ist

folglich besteht eine Ausrichtung dezimiert enthielt sie zwischen x und y - 10 ^{- n0} . Sie ist genug, zum der Abbildungen dem letzten dieser Ausrichtung hinzuzufügen, um andere Zahlen zu finden enthalten zwischen x und y, können die addierten Abbildungen verursachen ist Ausrichtungen Begrenzungen zu Ihnen, oder periodisches gebendes Leben folglich zu den Zahlen rationiert es sie, als Ausrichtungen, die er nicht begrenzt und nicht periodisches gebendes Leben zu den irrazionali Zahlen, alle zu Ihnen enthielt rigoros zwischen x und y.

 

7) Verschiedenheit von Bernoulli:

Beschreibung: " h ? " , mit ist h > -1 ³ 1 gehabtesche( 1 h) ⁿ NH

Es wird für Induktion demonstriert.

Für wird n = 0 1 ³ 1 erreicht, das Überprüfung die Verschiedenheit.

Es soll, daß zutreffend für n und es für n 1 zerlegt insbesondere die Energie innen demonstriert wird (1 h)^{n 1}das ³ 1 (n 1)h und es wird zum ersten Mitglied erreicht (1 h)ⁿ (1 h), zu diesem Punkt kann 2° das Mitglied durch die Verschiedenheit schriftlich, die zum Schritt n und Ausgleichen der Bezeichnung demonstriert wird (1 h), sie zu 2° auch multiplizierend das Mitglied, ist erreichtes quindi

(1 h)^{n 1} ³ 1 (n 1)h NH² ³ 1 (n 1)h

wo die Bezeichnung sie zentriert, wird vom Produkt erreicht (1 nh)(1 h). Folglich wird die Verschiedenheit auch für n 1 überprüft.

 

8) sind wieviele Permutationen mit n Gegenständen möglich?

Beschreibung: P_n = n!

Es wird betrachtend demonstriert, daß, um 1 Gegenstand in 1ª zu bestellen der Fall dort n verschiedene Weisen sind, um 1 Gegenstand in 2ª folglich zu bestellen der Fall verschiedene Weisen n-1 sind. Zum k-esima der Fall haben wir Gegenstände n-1, wenn k = n dann Pn = n gesetzt!

 

9) sind wieviele Permutationen mit n Gegenständen möglich, welches k₁ Gleichgestellten zwischen sie und k₂ des Gleichgestellten eine zwischen verschiedenem sie aber von k_{das 1} ?

Offenbar, wenn einige gleiche Elemente sind, daß es etwas Permutationen identisch macht und folglich von ihm verringert es die Gesamtzahl, die estrinsecato von n ist! . Im fattispecie geschieht die Beschränkung Dividende n! für die Zahl Kombinationen erklärte Gleichgestelltes ungültig (n_elementi_uguali)!

 

10) sind sie zu und B 2 stellt zählbar ein. Dann ist AxB wird gelegt in Korrespondenz biunivoca mit numerabile(can ?).

Es wird die Elemente der 2 Sätze in eine Matrix legend und das diagonale Verfahren des Kantors für sein scansion verwendend demonstriert, in solch einer Weise, die jedes Element oben verfangen eine einzelne Zeit und folglich kommt, einem Korrespondenz biunivoca zwischen zusammen gehabt wird und ?.

 

11) ist die Ganzheit "nicht zählbar.

Es wird für die Absurdität demonstriert, die erklärt, daß das Abstand (0.1) equipollente zu zählbar " zeigend ist und daß ein n° verursacht werden kann, dem nicht mit folglich konstruiert erreicht gehört, die i-esima Zahl von i-esimo ändernd, die Zahl, folglich nicht ist Korrespondenz biunivoca zwischen zusammen eins und ? in, wieviel die Funktion nicht suriettiva ist.

 

12) zeigen daß, wenn f innen zu sichelförmig sind und g, den es im f(A) ž g°f sichelförmig ist, innen zu sichelförmig ist.

Es wird demonstriert, beobachtend daß, wenn f innen zum ž sichelförmig ist, wenn x₁³ x₂ diesem f(x 1)³ f(x 2)folgen, außerdem, wenn g es in f(A) ž g(f(x1) ) ³ g(f(x2) sichelförmig ist) und folglich g°f es sichelförmig ist.

 

13) zeigen, daß der Aufbau einer Funktion für sein umgekehrtes die identische Anwendung ist.

Es ist sofortig.

 

14) Verschiedenheit von Cauchy - Schwarz:

Beschreibung: " x, y ? " hat che 2|xy| £ x² y²

Die bemerkenswerten Produkte werden, werden gehabt benutzt:

(x y)² ³ 0 ž x² y² 2xy ³ 0 ž x² y² ³ -2xy

(x - y)² ³ 0 ž x² y² - 2xy ³ 0 ž x² y² ³ 2xy

und an das erinnernd |xy| = xy wenn xy > 0 e |xy| = - xy, wenn xy < 0 die Verschiedenheit demonstriert wird.

 

15) Verschiedenheit der Junge:

Beschreibung: " x, y und ? " hat che 2|xy| £ undx² y²/und

ED wird x = u/a y = Handelsersetzen wird erreicht 1° zum Mitglied 2 gesetzt|UV| zu, welchem die Verschiedenheit von Cauchy-Schwarz angewendet werden kann und folglich die 2|UV| £ u² v² ersetzend, damit, um ein disequazione in x und in y zu erreichen es erreicht wird:

2|UV| £ bis²x² y²/a^2, in denen es ersetzt werden kann =.

 

16) Schwanken der dreieckigen Verschiedenheit:

Beschreibung: | ||x|| - ||y|| | £ || x - y ||

Der Teil wird gegeben ||x|| zu seinem Innere verbindet man und es unterschlägt y dopodichè anwendet die dreieckige Verschiedenheit ||x y|| £ ||x|| ||y|| und ottiene ||x|| - ||y|| £ || x - y || beim Verlassen sie geben ||y|| es wird erreicht ||y|| - ||x|| £ || x - y || = || y - x || und Nutzen aus den Eigenschaften des Moduls schließlich, ziehend, wird es erreicht, um die Aufgabe zu zeigen.

 

17) sind x von der Ansammlung für und > jedes herum von x enthält es infinites Köpfe von und.

Alle Bestätigungen mit > werden das 2 Rückseiten ž e separat zeigend demonstriert ? .

? definiert tatsächlich Häufungspunkt x in jedem, seinem ein herum ¹ ist zu haben und einen Punktpunkt x banal

ž , wenn x von der Ansammlung für sind und dann in jedem seinem herum mindestens ein Punkt von ist und, ein Punkt wird von und innerhalb zum 1° herum gefunden und wird dem angenommen ||xx₁|| es ist der Lichtstrahl des Neuen herum, zu seinem Innere findet sich ein neues Element von und das unterschiedlich zu dem 1° es gefunden wird in, wieviel herum eine Struktur ist, die die Punkte ausschließt, daß sie auf dem Rand sind.

Nachdem alles folglich die Definition des Häufungspunkts zu uns sagt, daß in jedem seinem herum es mindestens von x ein Punkt von und ein verschieden gibt, zeigt dieser exakte Theorem Saying, den in Wahrheit Cer n ' er nicht einzelner einer ist, aber infinites.

 

18) wenn F eine Familie der Sätze ist, die dann von "ⁿ geöffnet sind ?F mit ist von " ⁿgeöffnet .

Wenn x dem Ganzheitanschluß der Familie von Sätze ž x gehören, muß es bis einen dieser Sätze gehören, daß sie die Familie festsetzen, als Beispiel mit, welchem ein geöffnetes ist, dem es sagen möchte, daß jeder sein Punkt gestochenes inneres und folglich auch x ist, muß folglich herum bestehen eins von x, das vollständig innen zu enthalten wird und folglich vollständig innen enthalten ist ?F. Folglich x sind gestochene innere zu ?F und für die Willkür, mit der wir x gewählt haben, folgt daß alle i Punkte von ?F ist gestochenes inneres und folglich die Ganzheit ?F ist geöffnet.

 

19) wenn F eine Familie ist, die von den geöffneten Sätzen beendet wird ? "ⁿ dann ?F mit ist von " ⁿgeöffnet .

Gelten kann als den Fall von 2 Sätzen, die zu geöffnet sind und von B, Nehmen eins zeigt x, das ist zu zu dem zu B gehört und es demonstriert wird, daß es gesamt innen zu enthalten wird ?B, ist, das innerer Punkt und folglich die Ganzheit ist ?F ist ein geöffnetes. Damit x innen zu enthalten werden?B ist notwendig, um vom minimalen Lichtstrahl zwischen dem Lichtstrahl, denen mit x des Seins gestochene innere von zu und vom übereinstimmen Lichtstrahl herum zu wählen, der zu x des Seins gestochenes inneres von B übereinstimmt.

 

20) wenn und es ein geschlossenes Ganzheit ž ist und es enthält seine ¶ Grenzeund  und.

Wenn x nicht gehören und dann unavoidablly es dem ergänzenden C gehört_und das mit ihm (seiend und geschlossen) und folglich festgesetzte allein innere Punkte geöffnet ist, es erzielt einiges, daß x zu C inner sind_und und folglich nicht ¶ undgehört, in der ¶ Zusammenfassungund dem  und.

 

21) wenn und es sein Grenze¶ und E ž enthält und alle seine Köpfe der Ansammlung enthält.

Daran erinnernd daß, ist ein Punkt der Ansammlung für und oder ein Punkt der Grenze oder ein innerer Punkt und Beobachten das und enthält auch seine Grenze von ihm erzielt das und enthält alle seine Köpfe der Ansammlung.

 

22) wenn und es sein ganzes es vorangeht vom accumulazione ž enthält und ist geschlossen.

Es ist notwendig, zu zeigen, daß das ergänzende C_und mit geöffnet ist, das ist, daß es die solo Köpfe enthält, die inner sind, das auf der Hand liegt, weil, wenn x nicht und dann gehören, gehören nicht gleichmäßig nicht der Grenze von und (insofern als, das und es zu sagen seine Häufungspunkte ist gleichwertig, zu sagen daß ¶ und und enthält), dann x innerer Punkt zum ergänzenden C sein dürfen_und daß folglich es mit geöffnetem ist.

 

23) Theorem von Bolzano - Weierstrass:

Beschreibung: Ist und das  "ⁿ begrenzt (pu² wird innen herum vom Ursprung umgeben) und unendlich (unendlich festgesetzt von n° a der Elemente) ž Esiste in "ⁿ mindestens ein Punkt der Ansammlung für und.

) findet sich ein Anwärter zu der Ansammlung gestochen werden:

Seiend und dann begrenzt, besteht einem Viereck T ₀ in einer Positionauf das Umgeben sie, da und es endlos ist, dieses Viereck enthält infinites Köpfe von und, die 2 folgenden Schritte sind durchgeführtes dann ricorsivamente:

1) unterteilt das Viereck in parti 4.

2) wählt zwischen den 4 verursachten Vierecken ein Viereck, deren noch infinites Köpfe enthält und.

3) verbindet zur S Reihenfolge der linken Ränder der Vierecke ein Element, das ³ vom vorhergehenden ist.

4) verbindet zur D Reihenfolge der Randrechte der Vierecke ein Element, das £ vom vorhergehenden ist.

5) verbindet zur B Reihenfolge der niedrigen Ränder der Vierecke ein Element, das ³ vom vorhergehenden ist.

6) verbindet zur Reihenfolge zu den hohen Rändern der Vierecke ein Element, das £ vom vorhergehenden ist.

Von der Beobachtung, der die Sätze folglich sie sind Begrenzungen zu Ihnen konstruierten und folglich lassen sie außerdem mindestens ein maggiorante und ein minorante zu, die zu uns auf " finden, denn die Gründlichkeiteigenschaft das Minimum des maggioranti besteht, das das Sup ist und das Maximum des minoranti, das die Inf ist, den Zustand des Entweichens vom ricorsione, das ist, muß erreichtes che Sup(S) = Inf(D) sein gewinnt und das Sup(B) = Inf(A) Werte, die kommen, sich oben im Abstand zwischen dem sup und den inf verfingen, es wird gegeben vom Abstand zwischen den Rändern, die, es sie konstant für das n° willkürliches n von den durchgeführten Unterteilungen anfängt. Der Punkt, der diese Koordinaten besitzt, fällt folglich Anwärter zum Sein ein Häufungspunkt aus.

B) wird es demonstriert, daß der gefundene Punkt von der Ansammlung ist

Es muß demonstriert werden, daß solcher Punkt von der Ansammlung, die die in jedem seinem herum des Lichtstrahls ist und infinites Köpfe der Ganzheit besteht ist, um dieses genug das rettangolino herum des zentrierten Lichtstrahls innen umgeben zu lassen und in Punkt x, dieser im Punktanwärter das Quadrat [ erreicht wird sup(S) -, sup(S) ]x[sup(B) -, sup(B) ] zentrierend.

So registrierend, die in einem Kreis quadriert werden, wird es gehabt, daß der Kreis Lichtstrahl hat und , wird in x zentriert und infinites Köpfe mit für des Paktes enthält, der den Prozeß der Unterteilung bis den Punkt drückt, in dem der Abstand zwischen 2 Rändern des rettangolino von kleiner ist .

 

24) wenn und  "ⁿ es ist, besteht ein geschlossenes und begrenztes Ganzheit ž Max(E) und Min(E)

Begrenzt, für die Gründlichkeiteigenschaft, deutet es das Bestehen des Sup an und der Inf, die von den Grenzpunkten sind und da eine geschlossene Ganzheit auch seine Grenze von ihr enthält, erzielt es das und es enthält die Inf und das Sup, die folglich jeweilige Minuten und Maximum sind.