1) wenn eine Funktion f in x ₀ ununterbrochenist ? X und f(x₀) > 0 ž besteht um _{ein 0} U vonx so daß f(x) > 0 für jedes x ? U

 

2) ist es x₀ ? Zu und f(x₀) ? B und wenn f es in x ₀ undin g ununterbrochen ist, ist in f(x ununterbrochen,₀) dann, welches das bestandene Funktion g°f in x ₀ ununterbrochenist

 

3) wenn eine Funktion auf einem Abstand dann f monoton ist, das er muß endloses mehr ein zählbares als kann, sind Punkte der Unstimmigkeit und nur vom dismissable specie(o 1ª, wenn sie zu den Enden des Abstands gefunden werden).

Für eine monotone Funktion besteht die Begrenzung immer und stimmt mit dem sup überein, oder die inf zu zweitem der Fälle folglich, wenn wir einen Punkt x ₀haben, das sie bestehen müssen beendeten beide Begrenzungen und , wenn sie die Funktion gleich sind, sind ununterbrochen, während, wenn verschieden ist, die Funktion eine Sprungunstimmigkeit vorstellt.

Sie bleibt, zu zeigen, daß sie zu Ihnen möglich ist zählbare Unbegrenztheit weiß, die ist, daß sie eine Ganzheit darstellen, die in Korrespondenz biunivoca mit der Ganzheit gelegt werden kann ?, zu solcher Notwendigkeit wird es beobachtet, daß, wenn wir betrachten, es zu Ihnen grösser von 1/n mit n weiß ? ? sie sind zählbare Unbegrenztheit für jeden Wert, den wir zu n und zum siccome geben ? selbe, das er zählbar ist, erzielt einiges, dem total wir eine zählbare Unbegrenztheit der Unstimmigkeit der Sorte 1ª haben oder springen.

4) Theorem der null:

Beschreibung: Wenn eine definierte stetige Dauerfunktion auf einem Abstand [ a,b ] zu seinen ungültigen Werten des Übermaßes nicht und des gegenüberliegenden Zeichens annimmt, dann läßt f mindestens ein nully zu? (a,b).

Angenommen, daß f(a) < 0, während f(b) > 0 die Demonstration des Bestehens mindestens null mit einem dicotomico Verfahren geschieht, das von den folgenden Schritten gekennzeichnet wird:

A) bewerkstelligt einzelner mittlerer Punkt c des Abstands sie

B) basiert auf dem Wert, der von der Funktion in c führe ich angenommen wird, einen der folgenden Schritte durch:

* f(c) = 0 habe ich das null gefunden. Algorithmus führte mit dem Geschehen durch.

* f(c) < 0, das der mittlere Punkt sie bewerkstelligt, wird der neue linke Rand des zu betrachten Abstands.

* f(c) > 0, das der mittlere Punkt sie bewerkstelligt, wird der neue talentierte Rand des zu betrachten Abstands.

c) wird zum Punkt zu zurückgebracht).

In solch einer Weise 2 sind Reihenfolgen, a {zu_n} der linksränder und { b_n}der Randrechte verursacht worden, muß es demonstriert werden, daß beide zum gleichen Punkt y zusammenlaufen und daß in diesem Punkt die Funktion 0 wertIST, { _ninsbesondere} seiend, eine monotone und begrenzte Reihenfolge zu einem Punkt y zusammenläuft, während {b_n} zusammenläuft zum gleichen Punkt y in, wieviel der Abstand zwischen den Bezeichnungen n der Reihenfolge dieses Ausdehnungen bis 0 für n ¥ gleich ® ist. Außerdem war das Verfahren des Aufbaus der Reihenfolgen so daß f{zu_n} £ 0 während f{b_n} ³ 0 für n ® ¥. Es ist nur der Durchgang der zu versichern Funktion,, daß die zwei Begrenzungen für n ® ¥gleich und folglich f(y) = 0 zu uns sein müssen.

5) wenn 2 stetige Dauerfunktionen f und g, die auf dem gleichen Abstand [ a,b ] definiert werden sind, besteht so, für die zum talentierten Ende f er von b grösser ist, während zum linken Ende g er vom f ž grösser ist, mindestens eine Lösung y ? (a,b) vom Gleichung f(x) = dem g(x).

Das Theorem der null wird am stetige Dauerfunktion f(x) - g(x) angewendet.

 

6) nimmt eine stetige Dauerfunktion auf einem Abstand, nicht notwendigerweise begrenzt, alle Werte an, die zwischen sup und inf enthalten werden. Analog kann es gesagt werden, daß das Bild einer definierten stetigen Dauerfunktion auf einem Abstand, selbe es ein Abstand ist.

Jedes y, das zwischen sup und den inf beantrage ich enthalten wird, das Theorem der null am Funktion f(x) - y auf einem gewählten Abstand [ a,b ] damit das Zeichen der Funktion innen zu vom Zeichen der Funktion in b verschieden ist.

 

7) wenn eine Funktion f ununterbrochen und auf einem Abstand ž f umkehrbar ist, ist sie nah monoton.

Es wird für Absurdität demonstriert, angenommen, daß die Funktion nicht nah monoton ist und das Ziehen des Nutzens aus dem Durchgang innen gefolgt wird, um zu zeigen, daß die Funktion nicht iniettiva ist und folglich nicht umkehrbar ist und daran erinnert, daß festgezogenes monotonia andeutet, daß, wenn in der Herrschaft x < dann y < z im Bild gehabt wird, es f(x) < f(y) < f(z) während für iniettività darin übereinstimmt hat, daß jedoch presi x, y, z f(x) ¹ f(y) ¹ f(z) hat. Wenn wir für Absurdität annehmen, daß f(y) er von den anderen 2 Werte grösser ist, wird es beobachtet, daß im Abstand zwischen y und dem Punktkorrespondenten zum Minderjährigen zwischen f(x) und f(z) als Beispiel z (Abstand [ y,z ]) die Funktion alle Werte annimmt, die zwischen inf und sup zwischen enthalten werden, das die folglich auch f(x) folglich Funktion es nicht inettiva, diese Bestätigung die Gültigkeit des Theorems ist.

 

8) wenn f es eine ununterbrochene und umkehrbare Funktion dann auch ist, das umgekehrte man ist in seiner Herrschaft ununterbrochen, wenn:

A) ist die Herrschaft von f ein Abstand

B) ist die Herrschaft von f eine geschlossene und begrenzte Ganzheit (Vertrag).

In Betracht des Falles von einem Abstand:

Wenn eine Funktion ununterbrochen und auf einem Abstand dann für 51) die solche Funktion umkehrbar ist, ist sie nah folglich auch die umgekehrte Funktion muß monotones nonchè auf einem Abstand monoton in, wieviel Bild einer stetigen Dauerfunktion auf einem Abstand nah definiert werden. Von der Eigenschaft der monotonen Funktionen wird die Funktion, die gewähltes y₀ beendetes e bestehen muß , affinchè ausfällt ununterbrochenes diese 2 Begrenzungen muß Gleichgestelltes sein anders würde sein ein Sprung abgeleitet, aber, wenn das Bild von f ^-1 waren, würde ein Sprung dann, der ist, die Herrschaft von f ein Abstand nicht gegen die Hypothese des Theorems sein.

 

9) wenn ich dann eine stetige Dauerfunktion auf einem Abstand [ a,b ] habe:

A) wird f innen begrenzt [ a,b ]

B) besteht das Maximum und die Minute an [ a,b ]

c) wird das Bild von f zwischen dem Maximum und der Minute enthalten.

Das Theorem basiert auf 3 Hypothesen, die nicht geschwächt werden, das f muß eine Funktion sein ist, die ununterbrochen ist, begrenzt (die innen herum vom Ursprung racchiudibile ist) und auf einem geschlossenen Abstand definiert werden können.

10) wenn ich eine definierte stetige Dauerfunktion auf einem kompakten K ž habe

A) ist das Bild f(K) auch es ein kompaktes.

B), wenn K  " dann die Minute und das Maximum von f im f(K) besteht.

) die Kompaktheit von f(K) deutet es das an, eine Reihenfolge y _Kgenommen im f(K), das, ein subsuccession y _LK daß Ausdehnungen zu y ₀ bestehenmuß ? f(K) für k® ¥ , zu solchem Ziel kann es beobachtet werden, daß solche Reihenfolge y_K Bild einer Reihenfolge x _Kauf K ist, für das, K ein kompaktes sein, ein subsuccession x _LKbesteht, das zu x ₀ausdehnt ? K für k® ¥. Ist Ladurchgang von f in x_{0, das} zu uns versichert, daß folglich sein Bild, subsuccession y_LK , Ausdehnungen zu f(x₀) und f(K) es folglich ein kompaktes ist.

B), sobald wir gezeigt haben, daß f(K) es Vertrag ist, der eine geschlossene und begrenzte Ganzheit ist. Vom limitatezza wird es für Bolzano-Weierstrass abgeleitet, das bestehen muß die inf und das sup, während das Erinnern, daß eine geschlossene Ganzheit auch seine Grenze von ihr enthält, an sie ableitet, daß das Sup mit dem Maximum gleichwertig ist und die Inf mit der Minute gleichwertig ist.

 

11) wenn ich eine ununterbrochene und umkehrbare Funktion auf Vertrag dann habe, ist ein umgekehrtes man in seinem Herrschaft f(K) ununterbrochen.

Es ist notwendig, daß eine Reihenfolge y _K zu den Werten im f(K) zu zeigen, das sie zu y ausdehnt?f(K) (y muß es gestochen werden lokalisiert worden nicht in, wieviel, wenn es das umgekehrte man lokalisiert wird, in y für die gleiche Definition des Durchganges in einem Punkt ununterbrochen ist), hat als Reihenfolge x _K des Bildeseins, der zu x = f ^-1 (Y)zusammenläuft. Man nimmt für Absurdität an, daß x_K nicht zu f ^-1 (Y)ausdehnt, das ist, daß sein subsuccession x _LK einsbesteht, das nicht zu f ^-1 (Y)zusammenläuft (wird erinnert, daß dem eine Reihenfolge jede Begrenzung L > hat, hat sein subsuccession Begrenzung l), von diesem per², das zu uns auf einem kompakten findet, kann extrahiert werden einem subsuccession x_JK, das zu x zusammenläuft ? K. Der Durchgang von f in x versichert zu uns, daß das Bild von Reihenfolge x_JK zum f(x) ausdehnt und siccome die Begrenzung nur dann x = f ^-1 (Y)ist. Zu diesem Punkt wird es gehabt, daß das subsuccession zu f ^-1 (Y)zusammenläuft, daß es unmögliches von der absurden Hypothese folglich verlassen ist, die x_K nicht zu f ^-1 (Y)wird erreicht der Absurdität ausdehnt, die eine sein subsuccession anstatt zu f ^-1 (Y)ausdehnt, daß es unmöglich ist, insofern als die Werte des subsuccession von der Hauptreihenfolge extrahiert werden.

 

12) Theorem von Heine - Kantor

Beschreibung: eine stetige Dauerfunktion auf einem kompakten ist auch die ununterbrochene Uniform.

Es wird für die Absurdität fortgefahren, die verweigert, daß die Funktion konstantes ununterbrochenes ist, das besteht und ₀ mindestens> solches 0 so ist, daß für jedes d > 0 2 Punkte x_d und y_d sind, das sie, zum zwischen von ihnen entfernt zu sein kleiner als d aber ihre Bilder, zum zwischen von ihnen entfernt zu sein mehr als und₀. Gebend zu d von Werten 1, werden 1/2..., Reihenfolgen 1/k 2 x_K und y_K festsetzten von den Punkten erhalten, die den konstanten Durchgang der Funktion verweigern. Von x _K eins subsuccession x zu extrahieren Finden zu uns aber auf einemkompakten pu²,_LK, das zu einem Element x zusammenläuft. Vom Rest aber auch y_LK läuft es zu x für _Kiloliter ® ¥ in zusammen, wieviel Elemente _Kiloliter des sottosuccessioni 2, zum zwischen von ihnen entfernt zu sein der weniger als 1_Kiloliter Dato, dem beide die sottosuccessioni Ausdehnung zu x und für den Durchgang von f, daß der Abstand zwischen die 2 sottosuccessioni Ausdehnungen bis null gegenteilig folgt von, wieviel, vor erklärt, folglich verlassend, Aufgabe gibt, daß das f nicht konstante ununterbrochene Reichweiten die Absurdität ist, daß das subsuccession den konstanten Durchgang während respektiert, die Reihenfolge, von der er nicht extrahiert wird, ihn respektiert.

13-a) Wenn f und g sie 2 konstante stetige Dauerfunktionen dann auch f g ± und sind* f, sind sie konstante stetige Dauerfunktionen.

Für das Produkt anstatt ist es nicht zutreffend.

13-b) Wenn g es eine konstante stetige Dauerfunktion in X und in f ist, ist es eine konstante stetige Dauerfunktion g(X) dann auch im f°g ist eine konstante stetige Dauerfunktion in X.

Die Definition des konstanten Durchganges von g°f basiert auf der Tatsache, daß der Abstand zwischen den Bildern von 2 Punkten x und y, die X betrifft, von kleiner ist und und der Abstand zwischen g(x) und g(y) von d _{die 1}Funktion von kleiner ist und daß er die Definition des konstanten Durchganges von f respektiert und außerdem der Abstand zwischen x und y von d _{die 2}kleiner ist, die es Funktion von d _das1 ist, deren ich bin Funktion wiederhole und.

 

14) wenn f und eine Funktion Uniform auf X ž f ist estendibile mit Durchgang R-alla.chiusura von X, eine Funktion besteht, die ist, das ist die Verlängerung von f R-alla.chiusura von X fortfährt, dem zu ist .

Die Definition des konstanten Durchganges deutet das Bestehen einer beendeten Begrenzung an und folglich muß nicht andere bilden, die ersetzen, um x ₀ im f zu beenden, dem nicht die Begrenzung auf das f für x x _{0 ®} definiertwird .

 

15) wenn eine Funktion f im X ž es konstantes ununterbrochenes ist, ist sie auch in jedem sottoset von X

 

16) wenn X eins mit dann begrenzt sind

die Funktion f ist > f ist estendibile mit Durchgang zu konstantes ununterbrochenes .

ž bereits wird zum Punkt 58) demonstriert

? Es ist konstantes ununterbrochenes in, wieviel ununterbrochenem auf dem Vertrag , der für 59) es andeutet, das fortfährt auch auf X konstant ist und insofern als auf X mit f übereinstimmt, folgt, daß f es die ununterbrochene Uniform ist.

17) wenn f es in X dann f konstantes ununterbrochenes ist, wird es in jedem sottoset begrenzt, das von X begrenzt wird.

Die Funktion f ist auch in jedem sottoset zu X konstantes ununterbrochenes, und folglich R-alla.chiusura von zu kann mit Durchgang verlängert werden, der ist auf, welchem aber begrenzt wird in, wieviel für eine stetige Dauerfunktion auf einem kompakten Maximum und Minute besteht, und folglich, da an mit f von ihm übereinstimmt, erzielt, daß f es an zu begrenzt ist.

 

18) wenn f es in X konstantes ununterbrochenes ist und das Abstand [ b, ¥)  X dann zu besteht, solches B ³ 0 das |f(x)| £ Axt B für jedes x ³ b.

Für Symmetrie ist er genügend, zu zeigen, daß solches A,B ³0 dieses f(x) £ jede Axt B für x ³ b bestehen.

Seiend die Uniform der stetigen Dauerfunktion, setzend und = 1, wird es gehabt, daß für jede Klammer x,y, die zu einem sicheren Punkt b die folgt, Verschiedenheit überprüft wird |f(x)-f(y)| < 1.

Diesbezüglich anstatt y den Punkt b und disuguagliando durch Cauchy-Schwarz zu ersetzen, das es, daß zum Ende des Abstands, das im Punkt b d ist, esgehabt wird, ist f(b d) £ 1 |f(b)|.

Wenn anstatt es zu y der Punkt b d und Silikon disuguaglia durch Cauchy-Schwarz ersetzt wird, das es das zum Ende von 2° der Abstand hat, ist das im Punkt b 2d, es ist f(b 2d) £ 2 |f(b)| .

Werte der Funktion zu den Enden dieser Abstände zusammen fortsetzend und verbinden die, wird ein gerades man erreicht, allen das von b in dann über der Funktion gefunden wird.

 

19) im Fall, daß f eine stetige Dauerfunktion an mit grenzenlosem dann affinchè ist, ist es auch konstantes ununterbrochenes Muß, das konstantes ununterbrochenes in jedem sottoset von X begrenzt ist und überprüft werden muß einer der 3 folgenden Bedingungen.

A) X wird inferiorly (advancedly) begrenzt und f hat es einen horizontalen oder schiefen Asymptote für x® ¥.

B) X wird inferiorly (advancedly) begrenzt und besteht ein solches R, das in (R, ¥) f lipschitziana ist.

c) ist f in X periodisch.

wo für begrenztes inferiorly darin übereinstimmt, daß mit Definition der Funktion sie nicht enthält -¥.